Динамика полей в общей теории относительности: Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
VJ7Z “° ' MO •
900 V 900
Очевидно, что линии координатного времени остаются без изменения при преобразованиях вида
х'° =X'0 Of0, Xі); (3.53)
х'' =х'; (х*), (3.54)
откуда следует, что по 3-мерным контравариантным индексам все прежде 4-мерные
95
величины оказываются обычными 3-тензорными величинами относительно (3.53), тогда как по ковариантным индексам, отвечающим координате X0, закон преобра-зования относительно (3.53) такой же, как у V^oo (ограничимся здесь лишь орто-хронными преобразованиями). Итак, если задан некоторый тензор в 4-мерном пространстве-времени, то из него можно построить некоторую совокупность хронометрически инвариантных и 3-мерно тензорных величин, если брать поочередно всевозможные комбинации компонент этого 4-тензора, поднимая и опуская их индексы и условившись использовать лишь 3-мерные значения контравариантных индексов, а ковариантные индексы брать всегда равными нулю, причем каждая данная компонента делится на \/в00 столькб раз, сколькими ковариантными индексами она обладает. Эти алгебраические условия приводят к стройной системе соотношений (включая и дифференциальные), полностью выражающей всю риманову геометрию и уравнения всех физических полей. Особенно плодотворен такой подход в релятивистской космологии.
В соответствии с этими идеями заменим требование Ill Меллера новым: Illa — энергия в элементе 3-мерного объема dE * '^0CtdSa должна быть хронометрически инвариантным 3-мерным скаляром.
Такому требованию можно удовлетворить, исходя из гравитационного лагранжиана, являющегося хронометрически инвариантной 3-мерной скалярной плотностью; таким образом, годится как общековариантный лагранжиан (3.25) # так и получающиеся из него конструкции, отличающиеся дивергенцией хронометрически инвариантной З-векторной контравариантной плотности. Дальнейшие рассуждения воспроизводят результаты [83] . Рассмотрим сдвиг во времени, приводящий, согласно теореме Нетер, к сохранению энергии (при соответствующей инвариантности лагранжиана) , как генерируемый векторным полем ? = 7 с компонентами Ct
(3.52). Тогда величина 4И) , определяемая (3.44) и последующими соотношениями, являясь в общем случае 4-мерной контравариантной векторной плотностью, становится по сзоим трансформационным свойствам тождественной произведению хронометрически инвариантного 3 скаляра, умноженного на плотность контрава-риантного 4-вектора. При умножении (с суммированием по индексу) на элемент пространственноподобной гиперповерхности c/Sq сохраняется лишь первое свойство, второе же ведет к 4-скалярности, так что искомая величина dE удовлетворяет требованию Illa. Это можно проверить и непосредственным расчетом, основываясь на трансформационных свойствах (3.41) — (3.43). Подставляя компоненты (3.52)
вместо в выражения (3.46) и (3.47), легко найти и структуру суперпотенциала для хронометрически инеаригнтной энергии. Итак, полученная здесь энергия в принципе не зависит от выбора 3-мерной системы координат, но изменяется при переходе между разными системами отсчета (когда, в соответствии с формализмом хронометрических инвариантов, одновременно совершаются переходы к новым конгруэнциям линий координатного времени). Таким образом, устранить гравитационную энергию подходящим выбором системы координат невозможно, если только не выбрать v систему отсчета с дслжным локальным ускорением. Последнее же может трактоваться просто как следствие принципа эквивалентности, т.е. как преимущество, а не порок теории.
Заметим, что с позиций ли-монадного формализма необходимо выбирать не единичную нормировку вектора ? , что, конечно, можно учесть при сохранении полученного результата. Кроме того, этот результат удается тогда перенести на теорию кинеметрических инвариантов Зельманова [44, 45], что неудивительно, так как ли-монадный формализм общековариантным образом объединяет оба подхода.
96
3.6. КВАЗИГРУППОВОЙ ПОДХОД К ЗАКОНАМ СОХРАНЕНИЯ
В специальной теории относительности в пространстве Минковского естественным образом действует группа преобразований Пуанкаре. Однако попытки ее обобщения на искривленное пространство-время приводят, как правило, к бесконечнопараметрическим группам. Например, при исследовании асимптотической структуры пространства-времени возникают бесконечные группы симметрий — группа Бонди—Метцнера— Сакса, Spi-rpynna и др. (см. гл. 7). Впрочем, уже в плоском^ мире ситуация совершенно аналогична для преобразований от одной произвольно движущейся системы отсчета к другой. В последнее время появились работы, проливающие новый свет на эту проблему. Баталиным [8] (по-видимому, впервые) было введено понятие квазигруппы преобразований. Ее основное отличие от группы заключается в том, что нарушается закон ассоциативности умножения элементов квазигруппы в виде, характер-ном для групп преобразований. Вместо него выполняется модифицированный закон "ассоциативности" — уместнее сказать, что в квазигруппе преобразований умножение является квазиассоциативным. Баталиным было также показано, что во многом теория групп Ли может быть перенесена с соответствующими изменениями на этот случай.
