Динамика полей в общей теории относительности: Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Qftv = -28Х. Zdefiv . (4.17)
Различие состоит лишь в том, что частные производные в (4.3) заменяются е-ковариантными и поднятие индексов осуществляется метрикой е^р. Таким образом, в данном подходе оказывается не псевдотензором, а настоящим тензором.
111
Если в качестве лагранжиана использовать "полную" скалярную кривизну, то результат варьирования (4.17) не изменится, так как вариация дивергенциального слагаемого, коммутирующая с е-ковариант-ной производной, должна исчезать на пределах интегрирования.
Следовательно, в 2-метрическом формализме B^iv представляет собой "е-метрический" тензор энергии-импульса и поля тяготения и полей его источников (это мы видели при интерпретации уравнения (4.3) в гармонических координатах и еще увидим при разложении B^iv в нормальных римановых координатах).
Еще одно свойство, выделяющее O^xv среди других тензоров (в 2-мет-ризме) или псевдотензоров (в ОТО), состоит в том, что он тесно связан с тензором суперэнергии Беля (CM. гл. 2).
Гарецки [21], исследуя разложение псевдотензора Эйнштейна в нормальных римановых координатах, нашел, что коэффициент разложения второго порядка по этим координатам содержит часть компонент тензора Беля—Робинсона.
Аналогичная работа была проделана и с тензором Папапетру [40]. Метрический тензор в нормальных римановых координатах [106] — координатах {уа} , геодезических в 4-мер^ой точке (в нуле), разлагается в ряд по правилу
SrewW = Ueco - (1/3 )яемсл,нмн1'-
- (1/3) Я V У^У У + — (“6 R у. Ц +
+ T «MOJ°R\epe^yVyXyP + ¦¦¦' <4.18)
где символ "о" над величиной означает, что она вычисляется з начале координат. Записывая частные производные от разложенной в ряд Тейлора плотности контравариантных компонент метрики:
11/21
выражая их через производные ковариантных компонент, значения которых в начале координаты определяются из (4.18), и подставляя затем их в определение тензора Папапетру (4.3), получаем в нулевом и первом приближениях по координатам
е°т = у or + I OTyXi
где7ат — плотность тензора энергии-импульса источника (содержится в тензоре Папапетру!). Вычисления второго приближения довольно сложны, они требуют по крайней мере двукратного применения тождеств Бианки и тождеств типа Ланцоша. Эти вычисления несколько упрощаются для пустого пространства-времени, их результат мы и приводим:
112
- f ^iiotIxp1Ikxkp - f- Г^ухур . (4.,91
где JmIorW = Jcr^Pf иначе говоря, полностью симметризованный коэффициент при втором порядке в римановых координатах оказывается с точностью до постоянного множителя тензором суперэнергии Беля. Несмотря на трудности в интерпретации тензора Беля—Робинсона, найденная взаимосвязь его с тензором Папапетру представляется не случайной.
4.4. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕНЗОРА ПАПАПЕТРУ ДЛЯ КОНКРЕТНЫХ РАСЧЕТОВ
Тензор Папапетру чрезвычайно удобен для расчетов гравитационных энергетических величин Чтобы подтвердить это высказывание, рассмотрим несколько примеров.
Подсчитаем интегральную энергию поля Шварцшильда в однородных координатах:
k 4
(1 - ут/2г)2
(1 + ут/2г)
(-
1 + (dx1 + dy2 + dz2).
Определяя полную энергию как E = f0oodV, находим с помощью суперпотенциала (4.4):
00, /
0 0, /
Из Cfr2 вычисляем 00,/ _
-
+9j].idV = 77 * {(9 + 0I '!i )dSr (4.20)
( Зу т \ X1
I8t-)т<
Ут (1 + утПгУ
у2™2 х'
2 (1 -УтПгУ
(4.21)
°°, E= /77, Т.е. хорошо
Подставляя (4.21) в (4.20), получаем, что г известный и ожидаемый результат.
Найдем интегральное значение z-компоненты момента импульса поля Керра в "квазидекартовых" координатах:
лз
dt +
ds2 = Vfiv dxiidxv - 4
27 т P3
+ a2z4
рх + ay р у — ах z
+ —z—т- dx + —;-------------— dY + — dz
р +а
(4.22)
2 2 P + а
по правилу
L = J-(X1A20 - x2dl0)dV =
113
= — Ф Ix1 ід20'1 - Si0,2) -X2Iff10'1 - ^1) +
2К
+ Hg20Sil - д1061))49,,
где учтено, что определитель метрики в (4.22) равен (—1). Пренебрегая на больших расстояниях параметром а по сравнению с р в знаменателе, после несложных вычислений находим нужные производные (компоненты "ротора" д0/):
,10 _ д20 e Л^{Х2 + _*2);
P5
я\\ - S30i - 3> тауг/ ps; STio3 ~д30 2 - -Зутахг/р5,
подставляя которые вместе с dst = pxts\n6d<pd0 в выражение для Lt получаем L = та.
Тензор Папапетру можно успешно применить и для вычисления энергии слабых гравитационных волн. Покажем, что такую энергетическую характеристику можно использовать в целях определения в классической теории численного значения спина гравитационной волны [41]. Подобно тому, как это можно проделать в электродинамике для поляризованной по кругу плоской монохроматической волны, взяв отношение плотностей момента импульса и энергии поля, и получить значение спина фотона (равное, конечно, единице) как коэффициента при обратной круговой частоте (что соответствует квантовому соотношению S/Е = Ы (cJh) =1 • of1), найдем аналогичное частное для слабой гравитационной волны с круговой поляризацией, обеспечивающей максимальный перенос спина:
У22 = —у33 = 4sinCo?, у23 = A COSCO?,
