Динамика полей в общей теории относительности: Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
99
Дальнейшее упрощение ситуации произойдет, если предположить,
о
что Cqa =0. Это условие, естественное в теории обычных расслоений и означающее, что коммутатор генераторов "трансляций" и "поворотов" выражается через генераторы трансляций, представляется разумным сохранить и в случае квазигруппового расслоения. Конечно, возможны ситуации, когда это условие не выполняется, но здесь мы их не рассматриваем. После сделанных предположений коммутационные соотношения (3.63) приобретают вид:
IVrsI - eSiVcVv I3-MI
IV - cSaV . Oes'
ItA • 1»1 * cAStD ¦ <ЗЮ>
Основное отличие квазигруппового расслоения от группового заключается в зависимости структурных функций от точек слоя, и в этом проявляется неассоциативность умножения элементов структурной квази-ґруппьі. В случае, когда такая зависимость пропадает, квазигрупповое главное расслоение переходит в обычное главное расслоение.
Есть основания считать, что неассоциативность — это мера не только кривизны, но и взаимодействия. Так, в статистической механике корреляции между случайными величинами, описывающими поведение системы, приводят к неассоциативным (квазигрупповым) структурам. Только в отсутствие каких-либо корреляций, характеризующих физическое взаимодействие в широком смысле, исчезает неассоциативность этих структур.
Квазигруппа афинных преобразований (деформированная группа Ли). Следуя Смржу [126], введем понятие деформированной группы Ли. ?1усть G — группа Ли и Gr — подгруппа, G' С G. Предположим, что алгебра Ли подгруппы G' натянута на векторы ХА, А = 1, 2, . . ., п, а векторы Xa, а = п + 1, . . . , N дополняют базис до полного. Структурные константы группы G определяются из соотношений:
^xA' xB^ = С ABXDr САВ =0;
VtA-*.' ' ^.Xb * СА. Xb -
I*.. V - C1LxO * ^xc-
Гбворят, что группа G деформирована вне подгруппы G', если:
1) существуют действительные функции B^t определенные на групповом многообразии;
2) векторы Xa и Xg = Xg + В*Xa образуют базис касательного
пространства в каждой точке группового многообразия;
3) коммутационные соотношения между ХД и Xg такие же, как и
в недеформированной группе, т.е. [ХД, Xg] = G^gXg + &АаХь.
100
Рассмотрим группу аффинных преобразований А (4, Я). В этом случае генераторы аффинных поворотов Lab принадлежат алгебре группы GL (4, R) и удовлетворяют коммутационным соотношениям
Ч- lV -6It-aO- KlI-
а генераторы трансляций —
IT, Т„\ -0; u;. Г„] - -S;т„.
Здесь а, Ь, с = 1,2,3,4.
Смрж [126] исследовал деформацию группы Al4, А?), в которой происходит деформация подгруппы трансляций Tg « Tg + и по”
казал, что функции BFgb определяют аффинную связность, т.е. деформация группы аффинных преобразований оказалась эквивалентной переходу от /?4 к многообразию с аффинной связностью.
Пусть — произвольная система координат: = X^iIrt9), где
— канонические координаты на групповом многообразии (в этих координатах генераторы трансляций записываются очень просто, Tg = Э/Эл* ). Тогда
[T11. Tv] = (d°Bbva - dlB^a)dlfx +
_ Л Da JL Da Dc _ Pa Dc \ / Ь
* <V» - * вV8» - b K bW l°- |3'671
где
</•„ . Эл*/з*": Tlt
Рассмотрим некоторое сечение о(х), о Є GL (4, Я). В координатах оно описывается с помощью матриц дь^ = Отсюда после
подстановки в (3.67) получаем
IV V- <»„**„ *8;Х<,-8«8Ж -
“ ^jJLgV ~ * 9 Ці) ~~ 9Ь11В%Ь^9а 7X'
а
и, следовательно, структурные функции C^lv и принимают вид:
С fiv Vb - ць + В ncBvb * ВvcB'
Cyw ~ ^vgH + svBHb * 9н Btb^^a'
В свою очередь.
а структурные константы группы GL (4, R), т.е. Cbe с , в соответствии
і d f
с общей идеей деформации остаются неизменными .
Пусть д* — тетрадный базис на многообразии, тогда величины
tIv = +8UgbJ
можно понимать как коэффициенты связности в натуральном (коорди-
а
натном) базисе. Структурные функции C^lv = Rabfjiv определяют компоненты тензора кривизны в смешанном базисе, а функции
fXJ _ р <7 р <7 _ j-О
^llV 1 VJJL [IV [IV
— компоненты тензора кручения. Таким образом, геометрия деформированной группы аффинных преобразований эквивалентна геометрии многообразия с аффинной связностью. Кроме того, из сравнения (3.64) — (3.66) с коммутационными соотношениями для деформированной группы аффинных преобразований вытекает, что она является частным случаем квазигруппы преобразований, определенной выше. Результаты Смржа показывают, что при наличии кривизны и кручения происходит естественная деформация генераторов сдвигов с помощью поворотов.
Квазигруппы преобразований и законы сохранения. Общий анализ теоремы Нётер проведен в предыдущих параграфах. Остановимся более подробно на новых моментах, привносимых теорией квазигрупповых преобразований. Как уже было отмечено, квазигруппы преобразований позволяют отделить повороты от сдвигов, правда, сдвиги становятся деформированными, HO в этом и проявляется действие кривизны. В свою очередь, выбор сечения в расслоении означает конкретизацию си-системы отсчета в пространстве-времени (если рассматривается расслоение над пространством-временем). Несомненное преимущество квазигруппового подхода к законам сохранения, по сравнению с групповым, состоит в том, что здесь вместо бесконечного числа законов сохранения (наиболее часто встречающаяся и трудная для анализа ситу-ция) получается конечное их число, причем они наполняются физическим содержанием. Что касается конкретного содержания теоремы Нётер, то оно, как легко видеть, не меняется. Если рассматривать преобразования координат и полей, включающие в себя собственно координатные и калибровочные квазигрупповые преобразования, то из требования инвариантности лагранжиана относительно этих преобразований следует конечное число законов сохранения вида Ooa (? ) а = О, где %а — генераторы инфинитезимальных преобразований. Например, в случае расслоения ортонормированных реперов С (Ж) генераторы La [см. (3.61)] отвечают за инфинитезимальные преобразования Лоренца,
