Динамика полей в общей теории относительности: Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Итак, в своей первоначальной формулировке [117] двуметрическая теория гравитации приводит к тем же предсказаниям, что и теория Эйнштейна, отличаясь от нее только интерпретацией наблюдаемых величин и возможностью введения тензорных энергетических характеристик поля тяготения. Интересно отметить, что в качестве одного из аргументов, выдвинутых автором двуметризма в его пользу, была неудача геометри-зацйи других (не гравитационных) полей. Ведь не может же только гравитация описываться геометрически? Почему она оказывается в выделенном положении по отношению к остальным физическим полям? — удивляется автор и, не находя ответа, предлагает вернуть "заблудшую овцу в стадо" — отказаться от геометризации тяготения, хотя бы это был и шаг назад.
Кроме того, наличие двух метрик в теории обещало большее число дополнительных скалярных и тензорных величин, что открывало широкие возможности к построению новых физических теорий, отличающихся от теории Эйнштейна не только по интерпретации результатов (следующих из одних и тех же уравнений), но и чисто математически.
Позднее такие теории, естественно, появились и разрабатывались рядом авторов в ?0—60-х годах (например, [110, 120, 77, 118]) .Один из интересных вариантов 2-метризма — теория гравитации с минимальной связью [29], трактующая гравитационное поле как независимое тензорное поле, существующее на фоне плоского пространства-времени со своим метрическим тензором — совершенно в духе предложенных Розеном традиционных полевых позиций Максвелла и Нордстрема.
Теория гравитации с минимальной связью заслуживает несколько более пристального внимания в связи с тем, что ее авторы предлагают
0,
(4.7)
do do
107
интересный путь вывода симметричного тензора энергии-импульса гравитационного поля.
В работе [29] вводятся две основные величины — метрика плоского мира e^v и "физический" тензорный симметричный гравитационный потенциал Vyv, вместе определяющие метрику некоторого эффективного риманова пространства (е, де, дде, у, Ъу, дду), в котором урав-
нения поля вещества можно рассматривать наравне с записью их в метри-ке е^jlv (но в соответствующим образом переформулированном виде) — это так называемый принцип тождественности. He конкретизируя вида лагранжианов полей тяготения, но задавая их зависимость от метрик ецр и ^ytv и потеН1*иалов Vyv и (последний - потенциал поля источника) , авторы выводят закон сохранения суммы симметричных тензоров энергии-импульса гравитационного поля и вещества (в плоском простран-стве-времени), эквивалентный равенству нулю g ковариантной дивергенции тензора энергии-импульса источника тяготения:
itMp + tgi) |а = Г0; а = °- (4-8>
Первое равенство в формуле (4.8) и представлет собой математическое выражение принципа тождественности. Заметим, что выражение (4.8) было записано в работе Розена [117], но роль tgp там играет построенный из тензорного продолжения связности несимметричный канонический тензор Эйнштейна).
Требования калибровочной инвариантности теории с минимальной связью и сохранения не определенного пока тензорного тока источника приводят к определению новых переменных гравитационного поля, записываемых через потенциал дифференциально — с помощью
вторых производных (для краткости обозначим такую связь оператором Q):
fHV - ° aHV 0Xv', Ii - aXju; Ї + eHVaT^'9- = 0aIXV
где
°\р = %> - (1/2)вХр*ї-
Тогда гравитационный лагранжиан в зависимости от f и от е будет равен
L> ' її v.Xf^x - IfЇ.X'p к) |4-91
-(он отличается от нелинейной теории Розена [118] только тем, что свертка всех индексов (4.9) осуществляется посредством метрики плоского мира). Шесть независимых уравнений поля, следующих из варьирования (4.9) для шести независимых компонент или (4 уравнения и 4 компоненты устраняются калибровочным преобразованием), ока-108
зываются 6-го порядка: D1Qff^ = -2к J**.
(4.10)
где
JVv =Q- TaP
2
1?? V"']- «•”>
Xp
Этот факт является скорее недостатком теории, чем ее достоинством, так как для определения 36 констант интегрирования, неизбежно появляющихся в общем случае, требуется такое же число начальных и граничных условий, а это в три раза больше, чем в теории Эйнштейна. Однако авторы в дальнейшем ограничиваются случаем причинно-обусловленных решений и, "сокращая" (4.10) на один даламбертиан, после серии калибровочных преобразований переходят к интерпретации f^v как физического гравитационного потенциала, определяемого из уравнений
где величине I^iv, дифференциально связанной с источником (4.11) по
в силу калибровочной инвариантности и сосредоточенного только в веществе.
Как видно из (4.12), уравнения этой теории имеют в точности тот же вид, что и линеаризованные уравнения Эйнштейна с координатными
же значениями, что и в теории Эйнштейна, и для удовлетворения необходимого условия соответствия теории с минимальной связью с экспериментом авторы избрали сложную — нелинейную зависимость д , е и
х ,
именно зависимость (4.13) и была названа минимальной связью. Постоянные параметры Ь2, Ьъ, 64 определяются из требования совпадения постньютоновских выражений для инертной и гравитационной масс статического сферически-симметричного тела. Здесь же требуется конкретизация вида источника, входящего в уравнения (4.12). В нулевом приближении по гравитационному полю авторы предлагают считать I^v тензором энергии-импульса источника
