Динамика полей в общей теории относительности: Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
1 В данном случае коллективный индекс А представляется в виде двойного а
индекса ^ .
102
a Ta [см. (3.62) ] порождают инфинитезимальные сдвиги. Отсюда возникает квазигрупповое обобщение группы Пуанкаре, (структура этой квазигруппы детально обсуждается в гл. 5). Заметим, что квазигруппа Пуанкаре естественным образом связана с системой отсчета одиночного наблюдателя.
Глава 4
ДВУМЕТРИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ
4.1. ПСЕВДОТЕНЗОР ПАПАПЕТРУ
Рассмотрим здесь, главным образом, один из наиболее приемлемых, по нашему мнению, псевдотензоров, характеризующих энергию и импульс гравитационного поля — "псевдотензор" Папапетру (термин "псевдотензор" взят в кавычки потому, что он не в полной мере отвечает своему смыслу: при некоторых дополнительных предположениях определенная Папапетру энергетическая характеристика приобретает тензорные свойства) . Однако в интерпретационном физическом плане такие дополниїель-ные предположения выводят за рамки общей теории относительности и возникает весьма сложная задача: описывать динамику и энергию гравитационного поля на базе теории Эйнштейна, но при этом как бы частично отходить от нее, предполагая наличие "лишних" геометрических объектов. Остановимся на этом подходе подробнее. Из теоремы Нётер известно, что сумма плотности тензора энергии-импульса источника и псевдотензора энергии-импульса гравитационного поля выражается через "сильно сохраняющуюся" спиновую долю энергии, которая, в свою очередь, есть результат частной дивергенции от плотности геометрического обобщенного спина Этим обстоятельством воспользовался
Папапетру [98] и с помощью процедуры Белинфанте—Розенфельда построил симметричную сохраняющуюся величину, имеющую смысл плотности тензора энергии-импульса поля тяготения. При этом автор величины O^xvt будучи неудовлетворенным уже известными трудностями в толковании псевдотензоров, взял за основу традиционный (максвелловский) полевой подход к интерпретации компонент метрического тензора только как потенциалов гравитационного поля, считая,
что само пространство-время плоско и описывается псевдоевклидовой метрикой Ti^jlv (в декартовых координатах метрика Минковского). Поэтому в процедуре симметризации спиновой доли энергии Папапетру использовал для поднятия и опускания индексов у естественно возникающей В теореме Нётер величины С ПОМОЩЬЮ ГIyp- По существу, вывод
efXV
состоял в следующем (см. также [77]).
Определяется симметричная величина
= (1/2)((^ +«?*>,+ <*С -
- +mvf) ^aaI. '
(4.1)
103
Плотность обобщенного спина в явном виде получается из ковариантного лагранжиана общей теории относительности по правилу (см. § 3.1).
^ot г 3* ЭХ і г
а "тт--------aD L — ---------------а + т------------- aR • (4.2)
В, а дАв,а,т ' в, а,P 'а'0
Подставляя (4.2) в (4.1), после несложных вычислений находим1:
- (1/2КІ - у*/-- 9-еЛ. (4.31
Величина по определению симметрична, в»р = ер», и тождественно (т.е. "сильно") сохраняется, = 0, а следовательно, выражается через трехиндексный суперпотенциал
Olip = (1/к) <7^ ^lc), P = / ^]; (4.4)
последнее свойство после определения 4-вектора интегрального импульса Pa = JflaPtfSp
естественно использовать для интегрирования с помощью теоремы Гаусса.
Дополнительным аргументом в пользу как плотности энергии-
импульса может служить также сравнение (4.3) с левой частью уравнений Эйнштейна, записанных в развернутом виде в гл. 2. Эти выражения очень похожи друг на друга, а в приближении слабого поля точно совпадают. В гармонических координатах^^ = О приходим к уравнению Даламбера:
00} Ixp = 2Kelip .
что позволяет отождествить величину, определенную Папапету, с релятивистским тензором энергии-импульса всех полей данной физической системы (включая и гравитационное); в правой части
6№
кроме тензора энергии-импульса источников тяготения содержатся квадратичные конструкции по первым производным метрики—напряженностям поля дцу.
1 Вычисления еще более упрощаются, если использовать формальный способ определения с помощью так называемой плотности биспина [77]
*«0 =__________г*Ч Г0
a --J1 v\ 1 a -
дГа\,а
также вытекающей из теоремы Нетер для полей, лагранжианы которых содержат вторые производные связности. B этом случае, полагая
^ =Л ^pnaa -KattHlPri0v -71%™^:
опять приходим к выражению (4.3).
104
Появление в определении (4.3) евклидовой метрики Папапетру, как уже говорилось, объяснял "полевой" направленностью своего подхода, смыкаясь в этом с замечаниями, высказанными Нордстремом вскоре после опубликования общей теории относительности и значительно позже — Розеном, заложившим основы двуметрического формализма в теории гравитации.
4.2 ДВУМЕТРИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ РОЗЕНА
В целях определения более удовлетворительных, чем псевдотензоры, энергетических характеристик в теории гравитации Розен [117] предложил чисто формально ввести в каждой точке риманова многообразия кроме метрики g^v еще и метрику плоского мира Пре/шагалось (с геометрической точки зрения) считать этот шаг отображением риманова пространства на плоское с метрикой (причем соответствующим
