Динамика полей в общей теории относительности: Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
93
отсчета (тогда берется за основу (3.31)) .В ОТО нормировка векторного поля I не вполне очевидна, и мы предлагаем для временно-подобного ?, коллинеарного вектору Киллинга, нормировку ли-монадного формализма (см. § 1.7). Как будет видно из дальнейшего (см. §6.2), такая нормировка приводит к физически осмысленным результатам (см. также § 6.4).
Однако при отсутствии временноподобного вектора Киллинга использование произвольной тетрады (особенно в космологическом контексте) приводит к тем же трудностям, что и для псевдотензора Эйнштейна (даже для ортонормированной тетрады). Тогда встает вопрос об определении тетрады, наиболее близкой глобально (или в конечной области) к ортореперу декартовой системы координат плоского мира. Эта проблема не решена и может вообще не иметь решения при слишком жесткой постановке в силу объективных свойств псевдориманова пространства-времени ОТО. Однако существуют подходы, позволяющие сближать (с некоторым правом) тетраду по ее смыслу с декартовой. Такие квазидекартовы калибровки тетрады могут осуществляться на базе нормальных риманрвых, фермиевских и оптических координат путем переноса тетрады из некоторой исходной точки на мировой линии, положенной в основу конструкции ("концепция одиночного наблюдателя", см. § 5.1). Для островной модели возможно обращение этого метода, когда тетрада разносится из асимптотически псевдоевклидовой бесконечности ("концепция антинаблюдателя", см. § 5.3), причем здесь возможны разные варианты, как и & случае одиночного наблюдателя. Такие процедуры не обязательно требуют привлечения тетрады, и в них можно ограничиться величиной, представляющей систему отсчета (в простейшем случае — монадой).
Пирани пришел к выражению вида (3.49), рассматривая именно монаду (в хронометрически инвариантной калибровке). Другое выражение, не сводящееся к (3.49), для такой же монады было предложено еще в 1918 г. Бауэром; с точностью до постоянного множители оно имеет вид
Любопытно, что в вакууме для невращающихся систем отсчета, как указал Каттанео, оба определения совпадают и дают при ? = 7 с точностью до постоянного коэффициента 2 величину
Здесь использованы обозначения, введенные в гл. 1.
Вопрос о конструировании одноиндексных величин, имеющих смысл плотности энергии, рассматривал методом неопределенных коэффициентов Ю.С. Владимиров [18, с. 163]. Как он отметил, в случае энергии возможна однозначная (несмотря на неоднозначность их построения) интерпретация получаемых величин; в случае же импульса и момента
94
(3.50)
такое истолкование затруднительно, так как требуется дать правдо-подобное определение сдвигов и поворотов не локально, а в области. Пути преодоления этих трудностей (включая улучшение понимания энергии) см. в § 3.6 и в последующих главах.
В принципе можно было бы добавлять к аоа любую дивергенцию, которая при повторном дивергировании обращается тождественно в нуль, сама по себе достаточно быстро убывая на большом расстоянии (для остро&ной модели). Однако такое расширение "правил игры", если 4го не связывать с разумным изменением лагранжиана, может внести неоправданную путаницу (примеры подобной ситуации можно найти даже в электродинамике Максвелла).
Позднее покажем, что в псевдо рима новом пространстве-времени ОТО существует возможность ввести систему векторных полей ?, соответствующую в пределе плоского мира генераторам группы Пуанкаре (см. § 3.6). Эта возможность позволяет решить проблему энергии-им-пульса (и момента) в ОТО в рамках одноиндексных величин, связанных с теоремой Нётер. Однако, как говорилось выше, при этом может возникнуть потребность в переопределении лагранжиана путем отбрасывания дивергенциального члена, если тем самым не нарушится его инвариантность.
3.5. ХРОНОМЕТРИЧЕСКИ ИНВАРИАНТНАЯ ФОРМУЛИРОВКА ЭНЕРГИИ
Анализ был бы недостаточно полным, если бы в него не был включен хроно-метрически инвариантный подход к энергии в ОТО. Конечно, такой подход представляет в значительной мере исторический интерес, так как обходит стороной проблему импульса и момента импульса, но в том, что касается энергии, он достаточно последователен, тем более, что позволяет примирить с этим кругом проблем тех, кому психологически ближе координатное описание физических величин в ОТО. Заметим, что такое описание при всей своей односторонности и при соответствующих оговорках правомерно и даже может претендовать на достаточную общность, так как со всякой корректно построенной системой отсчета можно связать специфическое (сопутствующее) множество систем координат; обратное, однако, неверно.
Формализм хронометрических инвариантов Зельманова (1956) можно рассматривать как специальную взаимную калибровку монады и системы координат, когда линии координатного времени берутся как огибающие векторного поля монады (интегральные кривые этого поля). В результате координатное время имеет автоматически временноподобный характер (в других случаях это не могло быть гарантировано), и вектор монады обладает компонентами
Tu = .. 5« ; т„------=Lr- д„п . (3.52)
