Динамика полей в общей теории относительности: Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Итак, выполнение требования NI Мёллера следует из общей ковариантности лагранжиана. Действительно, в этом случае выражение под знаком дивергенции в (3.30) есть плотность контравариантного вектора относительно произвольных преобразований: ^
«Г - M-1X- WxeS6 .
' ' к OXa
89-
>ж?** ¦*?»**%
Здесь векторное поле % уже никак не связано с новыми преобразованиями координат, учитывая его векторность и произвольность в последнем равенстве, получаем законы преобразования (76]
„ Ьяр / Ъх'а „ Э Ъхя __
VL .,= Ml----------- і--------U n +-------------------яг' *¦
Ii 11 I № Л /у
м Эх'"' V Эх'т Эх#1
г* V
92 JlltWy
дх'тЭ*^
(3.41)
ЭхД Эх -ТЭх ^ ЭхР Эх'0 Эх Эх^
(3.42)
%' aJ^ • (3.43)
Итак, плотность биспина является просто тензорной плотностью с весом +1 и валентностью 4; плотность обобщенного спина образует вместе с ней однородный геометрический объект, а спиновая доля энергии-импульса (или, как легко видеть, также псевдотензор ШММ) образует вместе с ними обеими еще один однородный геометрический объект (ящичная иерархия). Под геометрическим объектом понимаем величину, компоненты которой при преобразованиях координат комбинируют друг с другом, причем коэффициентами этих линейных комбинаций служат производные (не только первого порядка) одних координат по другим. Примером объекта может служить, например, совокупность компонент метрического тензора и символов Кристоффеля. Если теперь, как легко видеть, "хороший" псевдотензор 6^ преобразуется по закону (3.41) (с точностью до знаков перед вторым
и третьим слагаемыми в скобках), то в контексте IN требования Мёллера при чисто пространственных преобразованиях координат получим
Эх-0
So0 = Ur1-A- о}
ЭхХ
те закон преобразования векторной плотности. Любопытно отметить, что и ве-
лО
личина Ш0 ведет себя при чисто пространственных преобразованиях как векторная плотность. Дальнейшие комментарии читатель может найти в [77].
Казалось бы, возможность удовлетворить требованиям Мёллера решает проблему определения энергии (хотя бы для островных систем). Однако действительное положение несколько сложнее, особенно если к требованиям Мёллера добавить новое, Vl требование о выполнении принципа соответствия с теорией Ныо-
90
тона в приближении слабого гравитационного поля для плотности энергии [77]. Возникает вопрос: не порочно ли вдобще стремление использовать для описания плотности энергии-импульса физических систем (с учетом гравитации) в ОТО псевдотензоры, т.е. двухиндексные аффинные тензорные плотности? Мы видели в начале этого параграфа, что к таким величинам приводят преобразования типа сдвига, однако эти преобразования могут быть полноценно определены лишь от носительно декартовых систем координат, которые в искривленном пространстве* времени не существуют. В лучшем случае такие координаты (и соответствующие им сдвиги) могут вводиться асимптотически для островных физических систем. Тем самым из рассмотрения исключались бы космологические модели, а все конкретные примеры приобретали бы в значительной мере академический характер (живем-то мы, все-таки, во Вселенной, асимптотика которой явно космологическая!). Поэтому следует ли подправлять псевдотензоры, добавляя что-то незначительное к требованиям Мёллера?
Более того, какие величины следует считать более фундаментальными? Плотности (и соответствующие им дифференциальные законы сохранения) или интегральные величины? Для канонического формализма, для целей квантования важны именно последние. Во всяком случае, интегральные величины должны быть "хорошими". Что это означает? Если подходить к ним без скидок, то они должны быть скалярами, а не векторами или тензорами. Все последние преобразуются, имея перед своими компонентами коэффициенты, зависящие от точки, i.e. они могут иметь лишь локальный, а не интегральный (глобальный) смысл. Можно, конечно, приписать им локализацию в центре инерции системы, если она островная, но подобная декларация ниоткуда не следует. Итак, интегральные величины по своей природе должны быть скалярными. Нам возразят: в СТО электромагнитному полю приписывается интегральный вектор энергии-импульса. Однако в каком смысле это делается? Если под СТО понимать ее описание только в декартовых координатах, то формально это верно: преобразования Лоренца строго линейны и не привносят зависимости от точки. Однако никто не станет всерьез протестовать против использования в СТО 3-мерных сферических координат, а в них компоненты 3-импульса оказываются функцией точки, так как комбинируются из декартовых компонент с помощью коэффициентов, зависящих от координат. Более того, если взять не преобразование уже готовой интегральной величины из декартовых координат в сферические, а интегрировать в СТО компоненты плотности электромагнитного импульса прямо в сферической системе, то получится бессмысленная величина (разве что (^-компонента сохранит физический смысл, но это будет уже проекция момента импульса).
Итак, на примере электродинамики в плоском мире видно, что с энергией-импульсом не все ладно, если не потребовать использования строго декартовых координат. Альтернатива этому состоит в том, чтобы ввести базис, направления векторов которого отвечают истинным сдвигам (в плоском мире это выполнимо), а координаты выбирать произвольно, требуя по отношению к этим последним инвариантности интегральных величин. Тогда их плотности должны быть настоящими контра-вариантными векторными плотностями с весом +1. Мы приходим, таким образом, к одноиндексным плотностям сохраняющихся величин, что сразу же заставляет вспомнить выражение в скобках в законе сохранения (3.30).
