Динамика полей в общей теории относительности: Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
H=H-H0= 2 к?, (2.44)
энергия гравитационного поля определяется как
Е = $'Zbbijbki IbikJ - b,j, k > dsI (2.46)
OO
и в точности совпадает с гамильтонианом АДМ, выраженным через зависимые переменные. Таким образом, энергию можно найти с помощью (2.45), а гамильтонианом и генератором сдвига по времени является
(2.44).
Следует отметить, что выражение (2.45) нековариантно и энергию необходимо вычислять в асимптотически декартовой системе координат.
Подход Кухаржа [59, 60] . В варианте Кухаржа произвол в выборе сечений пространства-времени совмещается с процедурой выделения независимых степеней свободы. Двенадцать величин (bjj, я7) разбива-
70
ются на три группы (bjj, п'*) -* (х\ П*, Y), где четыре функции
Xt(х) описывают вложение пространственной гиперповерхности и называются внутренними координатами. Функция X0 = Г(х) определяет "номер" гиперповерхности, играя роль времени. Внутренние координаты появляются также и в методе АДМ, но там они фиксируются координатными условиями.
Вторая группа канонических переменных UfM содержит переменные, канонически сопряженные внутренним координатам Х^(х). Переменная По U) интерпретируется как плотность гравитационной энергии, а три величины П,- (х) — как плотность потока импульса.
Наконец, третья группа состоит из двух пар канонически сопряженных переменных Y (х) = { дА (х) , я4 (л) } , А = 1, 2, описывающих не-
зависимые степени свободы гравитационного поля. Метод Кухаржа позволяет провести в общем виде разделение переменных и сформулировать такие понятия, как энергия и импульс. Он особенно эффективен, когда пространство-время обладает определенной симметрией, как например в случае с квантованием цилиндрических волн Эйнштейна—Розена.
Дальнейшее развитие этих идей привело Кухаржа к созданию теории гиперпространства [59]. Гиперпространство определяется как бесконечномерное многообразие всех пространственноподобных гиперповерхностей, погруженных в данное риманово пространство-время. Конструктивно гиперпространство вводится следующим образом. Пусть f : f (Tl ) С С ^fl — погружение 3-мерного многообразия Tl в 4-мерное простран-ство-время Ш . Образ f (Tl ) определяет некоторую гиперповерхность в Ш . На самом деле здесь есть еще некоторая неоднозначность, связанная с возможностью пространственных диффеоморфизмов Diff( Tl ), не нарушающих вложения. Поэтому гиперповерхность f ( 71 ) определяется как класс эквивалентных вложений f, определенных с точностью до пространственных диффеоморфизмов \р:
h = [f=f0 о<р\<р Є Diff(TZ)J .
Все вложения f, описывающие пространственные гиперповерхности в (Ш , д) образуют бесконечномерное многообразие 8 = {f | д (г, г) = = е } , где т — единичная нормаль к гиперповерхности; е = ± 1 (в зависимости от сигнатуры метрики д) . Многообразие ? называют пространством погружений.
Гиперпространство Hf состоящее из множества всех гиперповерхностей, определяется как фактор-пространство: H- ё /Diff ( Tl). В динамике тензорных полей оно играет ту же роль, что и время в динамике частиц.
Риманова структура пространства-времени индуцирует богатую геометрическую структуру в Н. Так, расщепление (foliation) Ш на пространственные гиперповерхности реализуется как кривая в H, хотя обратное, конечно, неверно, так как произвольная кривая в H может соответствовать 3 + 1-расщеплению с пересекающимися гиперповерхностями.
Проекции тензорного поля на нормальное и касательное направления образуют расслоение гипертензоров над гиперповерхностью. Гиперповерх-ностная динамика изучает, каким образом точка этого поля движется в
71
расслоении при движении базовой точки в гиперпространстве. Полное изложение H-теории можно найти в работах Кухаржа (1976).
Подход Йорка [50 — 52]. Гравитационные степени свободы описываются поперечно-бесследовой частью импульсов, причем
а) данные Коши определяются заданием Ь,у и я/у на начальной гиперповерхности. Величины, описывающие скорость и ускорение относительно данного пространственноподобного сечения, не входят в число начальных данных;
Б) для данной 3-геометрии импульсы я/у могут быть ортогонально и ковариантно разложены на поперечно-бесследовую часть, бесследовую часть, определяемую пространственным вектором, и след;
В) скаляр г = (2/3)6-1/? представляет собой "время", параметризи-рующее гиперповерхности. Он измеряет скорость изменения локального элемента объема dV относительно собственного времени; ^
Г) независимыми данными являются конформная метрика Ь,у =
= b-l^bij, поперечно-бесследовая часть импульсов я (тензорная плотность весом 5/3) и скаляр т. Эти переменные инвариантны относительно конформных преобразований 3-мерной метрики Ь,у -> Ь,у<р4 {х) > 0). Зависимые данные, определяемые уравнениями связей, — конформный фактор у и пространственноподобный вектор Wt генерирующий продольную часть импульсов д/у:
л1' = TIiJ7 +Iiii + (у/д/2)тд'і;
ЦІІ = ViWi + ViWi - (2/3yIbilVaWa- [ (2.46)
4r: = 61/?'',.; ^bij = 0; Цт ,у = 0.
Таким образом, в идеологии Йорка фигурирует класс конформноэквивалентных геометрий.
