Динамика полей в общей теории относительности: Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
любые величины, с тем лишь условием, ЧТООД>1 последние две из них были симметричными по своим нижним индексам.
Чтобы исключить ?, продифференцируем явно выражение, стоящее под знаком дивергенции в (3.6), и сгруппируем естественным образом полученные слагаемые:
.0,- JIa и lt« +
•«'» «<.,*-0 \ъа, Л*и.еГ
* ш + « * * Л1«°«., * * Л.г./J = »•
Используя произвольность и их производных в точке, заключаем отсюда, что
6Х /SX 10 \ в а
---- Aaa+H----------Аа\ (3/!0)
ЬАа ' \SAa \а/, р “'0
И®+ W1IaiP=O-' (3-11)
да(“т> + TL pJaP = 0; (3.12)
80
(3.13)
Круглые скобки Баха, как обычно, означают симметризацию по всем стоящим в них индексам; тогда в силу определения (3.9)
л(агР) s (1/3) {паг0 + пт0а + п Pjn} = 0 (зы)
Заметим, однако, что
Э* = 8Х
Га ~ TT- Аа, а +
^ar Cl *
ЬХ А I
—-----— Аа,а,т\ •
"Aa.B.T J ,P
Отсюда, если подставить определение (3.7) в соотношение (3.10), легко увидеть, что (3.10) выполняется тождественно — независимо от того, является лагранжиан скалярной плотностью или нет'. Остальные соотношения (3.11) — (3.13) действительно выражают условие инвариантности лагранжиана; это и есть искомые тождества Нётер. Их можно рассматривать с разных точек зрения — например, принимая в качестве дифференциальных уравнений, решение которых представляет собой лагранжиан SC как функцию полевых переменных и их производных, автоматически инвариантную относительно преобразований (3.1). Нас будет интересовать другой аспект понимания тождеств Нётер, связанный с законами сохранения.
Формально равенство нулю дивергенции (в смысле частного дифференцирования) любой величины — а не только векторной плотности — можно рассматривать как дифференциальный закон сохранения. Соотношение такого вида непосредственно следует из тождеств Нётер (3.11) — (3.13) :
VLaaa= 0. (3.15)
Этот сильный закон сохранения играет важную роль в теории псевдотензоров, и хотя, как будет показано ниже, сами псевдотензоры энергии-импульса и момента импульса — не достаточно широко применимые физически осмысленные величины, они представляют собой важный строительный материал теории, и тождество (3.15), которое также будем называть тождеством Нётер, играет существенную роль. Начнем с того, что учтем его в соотношении (3.10) , являющемся тривиальным тождеством; поэтому получающееся соотношение
Ьая
/5# P \
*а, a + ( —- L = 0 <3-16>
\&Аа а/,і3
содержит точно такую же информацию, что и (3.15). Этот результат обладает тем преимуществом, что его можно записать в явно тензорном виде. Воспользуемся для этого свойством тензорной плотности выра-
, т.е. его законом преобразования
a
жения----------Aa
а
81
Тогда, учитывая (1.48), имеем
Соотношения (3.16) и (3.17) - сильные, так как они следуют лишь из инвариантности «Є без учета выполнения уравнений поля, т. е. функция могла бы и не быть лагранжианом.
3.2. ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА
Согласно уравнениям Эйнштейна, источником гравитационного поля является тензор энергии-импульса негравитационных полей. Однако определить таким образом этот симметричный тензор было бы непоследовательно, так как он стоял бы особняком от других сохраняющихся величин. Поэтому подойдем к нему со стороны тождеств Нётер в форме (3.17). Тогда факт появления этого же тензора в правой части уравнений Эйнштейна становится важным элементом истолкования их физического смысла.
Для того чтобы наполнить соотношение (3.17) физическим смыслом, учтем уравнения поля и перейдем тем самым к слабому соотношению. Разобьем лагранжиан <? t полной системы полей, зависящий от полевых функций Aa и их производных, на две части: лагранжиан гравитационного поля <? д и лагранжиан всех других полей ? f. Предварительно разобьем и общую совокупность функций Ag на гравитационные Ag„ и негравитационные Aa*, введя новые коллективные индексы: 1 з}={з'з"}. Так как отсутствие гравитационного поля локально определяется обращением в нуль тензора кривизны, а не конкретизацией функций Ag" , то лагранжиан негравитационных полей сохраняет зависимость от всех переменных, включая и гравитационные. Напротив, отсутствие других полей означает равенство нулю (с точностью до калибровочных преобразований) всех компонент Agf. Этим и воспользуемся для разбиения лагранжиана:
= \А ,=0-- = - ieP- <3-18>
а
Заметим, что, вообще говоря, переменные Аа„, описывающие гравитационное поле, могут и не сводиться к компонентам метрического тензора (например, когда рассматриваются спинорные поля в ОТО); однако чаще всего под Agfe понимают д .
82
Тогда уравнения негравитационных полей принимают простой вид: SXt/ЬАа' “ SZfSSAa' = 0, (3.19)
а уравнения гравитационного поля (в ОТО это, конечно, уравнения Эйнштейна) содержат два члена:
SXtZdAaff т SX9ZSAae9
+ SXfZbAa.. =0.
(3.20)
Следует помнить, что при суммировании по повторяющемуся коллективному индексу необходимо брать всю совокупность компонент, отвечающую данному типу индекса; это касается, в частности, суммирования в соотношении (3.17). Однако в качестве лагранжиана здесь можно брать не только Xtt но и Xg или Xf; в силу (3.19) во всех случаях имеет место слабое равенство
