Динамика полей в общей теории относительности: Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
58
2.3. НАПРЯЖЕННОСТИ, ПОТЕНЦИАЛЫ И ДЕЙСТВИЕ
Из уравнений (2.1) видно, что на уровне потенциалов существует определенная асимметрия между гравитационным и электромагнитным взаимодействиями: под знаком внешнего дифференциала стоит комбинация электромагнитного 4-потенциала и 4-скорости частицы, тогда как самый левый множитель — это одна только 4-скорость. Роль этого множителя состоит в том, что он осуществляет проектирование ротора (результата действия внешнего дифференцирования) по одному индексу на направление мировой линии частицы (ее собственное время, т. е. физическое время сопутствующей ей системы отсчета) , в результате чего по другому индексу эта величина проектируется в физическое 3-пространство [если величину, стоящую слева в равенстве (2.1), подвергнуть в целом дуальному сопряжению, то получится 1-форма, ортогональная и]. Ta-кигуі образом, если, проводя рассматриваемую аналогию, толковать и как гравитационный аналог А в скобках в (2.1), то множитель и, стоящий слева, не подпадает под это толкование: уже на уровне динамики частиц гравитация оказывается специфическим, можно сказать, универсальным взаимодействием.
Однако в рамках любой данной системы отсчета (заданной монады г) можно пользоваться любыми временноподобным образом движущимися пробными частицами, так что представляет интерес и сравнение соотношений (2.8) и (1.73), где проявляется та же аналогия, как и в (2.12) . Вновь перепишем эти соотношения:
dA -F — E at + * (Ват)) dr — —G а г + 2* (oja г) .
Подобный ход рассуждений наблюдается и у Денена [28] .
Построим аналогичные друг другу величины, привлекая (2.9), (1.75) и (1.76): электрическая и квазиэлектрическая напряженности тогда запишутся в виде
E = * (т л *dA) ; X = * (т л * dr) = -Gt (2.13)
а магнитная и квазимагнитная - в виде
В - * (г A dA)) Y = * (т A dr) = 2gj: (2.14)
Если взять систему отсчета, мгновенно сопутствующую частице, то в ней для собственных значений полей (mX + еЕ) с0qctb = 0, т. е. можно заключить, что гравитация "имитирует" другие поля (в нашем примере — электромагнитное) в отношении силы в точности так же, как и в смысле симметричного тензора энергии-импульса. Последнее почерпнуто из истолкования этого тензора Лоренцем [77, 99] : в уравнениях Эйнштейна можно перенести все слагаемые в одну сторону и после деления на эйнштейновскую гравитационную постоянную к получится, что сумма симметричных тензоров энергии-импульса гравитационного поля и его источников (nnvrnx полей) всегда рзсна нулю. Такая параллель между уравнениями поля и уравнениями движения пробных частиц в ОТО - весьма симптоматический факт.
Однако сами по себе напряженности квазиэлектрического и квазимаг-нитного гравитационных полей в силу принципа эквивалентности не могут
59
быть полноценным инструментом для анализа гравитации. Локально нельзя сказать, обусловлены эти напряженности истинным гравитационным полем или они обязаны лишь выбору неинерциальной системы отсчета в плоской области пространства-времени. Подобная ситуация имела бы место в электродинамике, если бы в природе существовали лишь заряженные частицы и притом только с одинаковым удельным зарядом. Поэтому в гравитации, где принципиально для любого объекта удельный гравитационный "заряд" одинаков, наблюдению доступна только относительная напряженность (ее градиенты - неоднородность пространства-времени). Это видно из уравнения девиации геодезических (1.59). Если в нем понимать w как вектор относительного расстояния между частицами ("густота" мировых линий в семействе), X — как собственное время вдоль линий, а и — как 4-скорость, то справа в (1.59) стоит относительное ускорение пробных частиц, а слева, конечно же, — относительная сила, в состав которой в качестве не зависящих от характеристик частиц (и их движения) множителей входит совокупность величин, которую следует назвать относительной напряженностью поля; однако это есть тензор кривизны Римана—Кристоффеля! Вспомним тем не менее замечание, сделанное в связи с уравнением девиации кривых ^-конгруэнции (1.95). Там была проведена аналогия между внешней кривизной конгруэнции Xp и электрической напряженностью, что, конечно, следует понимать в смысле относительной напряженности, "градиента". Если бы мы взяли аналогичную величину в электродинамике (например, имея возможность проводить измерения лишь с помощью систем частиц с одинаковым удельным зарядом), то это были бы градиенты напряженности F^iv. Электромагнитный лагранжиан может быть построен из них с
привлечением 4-потенциала A^:
2^; ИМ= F^V + 2 </*%).„
(дивергенциальный член не сказывается на уравнениях поля). Конструируя подобный инвариант в случае гравитации, следует брать относительную напряженность и потенциал дк^ (он получается, как и в
электродинамике Ayi, несколько искусственным образом и к тому же неоднозначно) : Rv gK^-R. Полученная скалярная кривизна и есть (с точностью до постоянного множителя) гравитационный лагранжиан, из которого следуют уравнения Эйнштейна (их левая часть). Тем самым мы пришли к аналогии между гравитацией и электромагнетизмом на уровне интеграла действия, причем аналогия состоит в единстве основных идей и не может предполагать полного совпадения полей (иначе речь шла бы об их тривиальном тождестве) .
