Динамика полей в общей теории относительности: Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
SX
SAa
fa =
Ьа
которое в применении к (3.20) дает
SX ЬА.
(SX |Э\
;в+\«Л.~ вЧ«/;Р
(3.21)
Будем теперь понимать под Aatf поле метрического тензора д(возможен. более широкий класс случаев, если обобщить операцию ковариантного дифференцирования; существенно лишь, чтобы Aaft, а = 0); тогда первое слагаемое в (3.21) обращается в нуль, и соотношение сводится к равенству нулю ковариантной дивергенции тензора:
Так как
9 IP = -д а
д бР
itIOT V
(3.22)
(3.23)
то сохраняющийся тензор симметричен и равен 2 SX
Tliv =
IiV
В ОТО гравитационный лагранжиан записывается в виде VcF
2к
(3.24)
(3.25) 83
(к - эйнштейновская гравитационная постоянная, к = 87гу), и для него
р- = - _?L /> _ 1Лу
5sMV 2К \ 2 /
Подстановка в уравнения (3.20) с учетом определения (3.24), когда Аа» -> дает стандартную запись уравнений Эйнштейна
R^ - OmgllvR = -KTtfr (3.26)
где справа стоит симметричный тензор энергии-импульса негравитацион-
ных полей (обычно индекс f у него не пишут).
Возвращаясь к определению (3.22), учтем его в выражении (3.7) :
bit
----------- Ag ^ Q ----- -- '¦
bAa,a ' ^AgeClt /З
ио= K+ - Т7“ А*' ° “ ГГ1—. OtP . (3.27)
Тогда можно записать
S VriF Taa = VLaa + ^ « , (3.28)
где
|3'291
— величина, называемая обычно (каноническим) псевдотензором энергии-импульса (который к тому же несимметричен). Рассматривая Vt^f как добавку, симметризующую 4 cL (и дополняющую его одновременно до тензорной плотности), можно назвать VLq спиновой долей энергии-импульса, имея в виду, что для полей,спин которых равен 0,7^ и 4aQ тождественно совпадают друг с другом. В свою очередь, величину (3.8) называют плотностью обобщенного спина, так как при соответствующей антисимметризации и интегрировании она дает в теории вторично квантованных полей стандартные значения их спинов. Величина Tl ^ (3.9) не имеет аналогов в обычной теории; в ОТО она отлична от нуля лишь для гравитационного поля. Мы будем называть ее плотностью биспина.
3.3. ПСЕВДОТЕНЗОРЫ И ИХ КРИТИКА
В этом параграфе дается исторический (хотя и не хронологический) экскурс в псевдотензорное определение энергии-импульса и момента импульса в ОТО. Прототипом такого определения послужило описание этих величин в нерелятивистской физике и в частной теории относительности; будем ссылаться на идеологию последней. Это описание было плодотворным в механике и теории электромагнетизма (как, впрочем, и в теории любых полей и объектов в плоском — максимально однородном — пространстве-времени). С точки зрения теоремы Нётер речь идет
о том, что в 4-мерном пространстве-времени, наделенном максимальной подвижностью, действует 10-параметрическая группа изометрии, сводящаяся для плоского
84
мира к группе Пуанкаре. В этом последнем случае глобально существуют в чистом виде преобразования сдвига (4 параметра — 1 временной и 3 пространственных сдвига) и преобразования поворота (3 пространственных и 3 буста, т.е. гиперболических поворота Лоренца, всего 6 параметров). He будем касаться здесь более общего случая группы де Ситтера, для которой глобально такая классификация невозможна (сдвиги и повороты неизбежно смешиваются). Co сдвигами теорема Нётер связывает энергию и импульс, а с поворотами — момент импульса1 (пространственные повороты) и закон центра инерции (бусты). Теорема Нётер указывает структуру плотностей этих величин, плотностей их потоков, а инвариантность лагранжиана по отношению к соответствующим преобразованиям ведет к законам сохранения.
Сдвиг в направлении декартовой координатной оси номер CL описывается (с точностью до инфинитезимального* не зависящего от координат множителя) вектором т.е. tj* ~ • Подставим этот вектор в соотношение (3.6), приняв во вни-
мание (3.16):
(«? ? + mf f'T + п ^ fTi р> t д - °- (з.зо)
Получим просто О-компоненту тождеств (3.15) р = 0. Соответственно разде-
лению (3.18) усматриваются три возможности. Кроме того, следует учесть равенство (3.28) и уравнения Эйнштейна в форме
j P + у P = о f fa + * да и *
Представляют интерес два случая, когда в дифференциальном законе сохранения под знаком дивергенции стоят величины
4A * *А -~?*Л «з-з1>
и
^A+4Am-nA- ,3-32)
В обоих случаях сохраняется комбинация величин, одна из которых характеризует гравитационное поле, а другая — прочие поля, но во втором случае эта сумма, целиком выражается через чисто гравитационные конструкции, хотя и описывает поведение всей системы. Исторически ей и отдавалось предпочтение всеми авторами. Так как гравитационный лагранжиан, от выбора которого зависит (добавление
дивергенциального члена здесь меняет картину в отличие от поведения симметричного тензора энергии-импульса), в разных работах брали по-разному, получали и разные псевдотензоры энергии-импульса (3.32). Ho сдвиг — преобразование линейное (вместе с поворотом), поэтому относительно него инвариантен и введенный Эйнштейном нековариантный лагранжиан
* '"'CrSi -
не содержащий вторых производных метрического тензора. Они отброшены вместе
