Динамика полей в общей теории относительности: Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
65
Для того чтобы получить уравнения поля с источниками, необходимо в интеграл действия добавить лагранжиан негравитационных полей — источников гравитационного поля. Уравнения Эйнштейна = - кТ^
получаются при варьировании действия по 3-мерной Ьар и 7га@. При этом следует учесть, что метрика не только является объектом варьирования, но и определяет геометрическую структуру пространства-времени. Так как все физические величины должны оставаться на той же самой гиперповерхности, то вариация метрики не должна менять параметризацию Xt. Отсюда получаем
8рр = 0; 5r^ = -7^5 InA/; 8тр = Tp5 In/V.
Отметим также, что 8? = ?8.
? S
Выпишем уравнения Эйнштейна: л ?. 3Sh _ 2Nf 1 , \
IЬФ - -^aT - (*„р - - Ь<Ф*) ;
= -л/ 1-і— ГJhArtf - - (2.41)
* 5ba(3 I VT L 7
- Tb* (v*"" - T*2)] + ^ - T 6“03/? +
+ 6“%^ - Ga^ + GeG^J - к?3^.
Уравнения GIxvT^tv = ~ получаются при варьировании дей-
ствия по функции темпа N и имеют вид
2к* ^tv = 0, (2.42а)
где Ir Iiv — плотность симметричного тензора энергии-импульса.
Остальные уравнения Эйнштейна получаются из вариационного прин-
ципа с подвижными границами. Если при выводе уравнений (2.41) предполагалось, что вариации метрики на Ij и Z2 равны нулю, то здесь мы этого уже не предполагаем. Будем считать, что эволюция системы происходит в соответствии с полевыми уравнениями, и вариация метрики не приводит к деформации Xt. В этом случае ее можно представить в виде
8Ьцр = — ? Ьцр,
V
где г? — произвольный пространственный вектор. С учетом этих замечаний находим
rtfp = -(KZN)^Tp. (2.426)
Уравнения связей (2.42а), (2.426) не содержат вторые производные по времени от by# и, следовательно, не определяют эволюцию 3-мерной
66
геометрии. Динамическими уравнениями являются только уравнения
(2.41), а появление связей обусловлено инвариантностью уравнений Эйнштейна относительно общих координатных преобразований. Ситуация здесь совершенно аналогична ситуации, возникающей в электродинамике. Вместо одной связи имеется четыре, а калибровочной группой является бесконечнопараметрическая группа координатных преобразований. К сожалению, из-за нелинейности уравнений, связи, в отличие от электродинамики, не удается разрешить. Отсюда возникает необходимость работать с обобщенной гамильтоновой динамикой, учитывающей связи явно.
Задача Коши в общей теории относительности и выделение независимых степеней свободы. В физических теориях, как правило, различают явления, описываемые теорией, и арену, на которой эти события развиваются - например, в специальной теории относительности — пространство Минковского. В общей теории относительности ситуация совершенно иная. С одной стороны, метрика описывает гравитацию, с другой, в силу принципа эквивалентности, она описывает геометрию, т. е. сферу действия гравитации. Отсюда возникают существенные особенности теории: ее нелинейность, инвариантность относительно группы общих координатных преобразований, выступающей в качестве калибровочной группы; наличие связей в формулировке начальных данных и отсутствие единого временного параметра (теория сразу записана в параметризованном виде).
При подстановке задачи Коши в ОТО возникают два вопроса: 1) где задавать начальные данные? 2) какие величины можно задавать произвольно, а какие ими должны определяться?
Один из вариантов обобщенной гамильтоновой динамики состоит в том, чтобы задавать начальные данные на изотропной гиперповерхности [4; 46, с. 84; 145j . Альтернатива этому — задание начальных данных на пространственноподобной гиперповерхности. С физической точки зрения первый путь представляется более приемлемым, но, к сожалению, возникают большие математические трудности, связанные с распространением на этот случай понятия ковариантной производной и кривизны 3-мерного пространства, так как метрика на изотропной гиперповерхности вырождена. Детальное обсуждение проблемы можно найти в работе Сакса [46, с. 84] .
Второй подход берет свое начало от основополагающих работ Дирака [33 - 36], Арновитта-Дезера—Мизнера (АДМ) [5] , Швингера [46, с. 67] , де Витта [24, 25] . В ли монадном подходе к ОТО задача Коши состоит в том, что задано 3-мерное многообразие TH с определенными начальными данными на нем (3-мерной метрикой baQ и внешней кривизной Ха/З' или Ьф и IiaP. а также соответствующими начальными данными для негравитационных полей — источников) и требуется найти 4-мерное многообразие Ш ,вложение/": 71-+Ш и метрику д на Ш , которая удовлетворяет уравнениям Эйнштейна и допускается начальными данными на f (Tl ), причем f (Л ) есть поверхность Коши для Ж [148] .
Проанализируем вопрос о сохранении связей со временем в предположении, что они выполняются на начальной гиперповерхности Sfo.
67
Представим уравнения связей в виде
где
= _ (1/2)*'"'/? + кГ^.
Из тождеств Бианки следует, что X^iv\ v=0. Отсюда с учетом уравнений поля
Эту систему уравнений можно рассматривать как систему обыкновенных уравнений вдоль каждой ?-линии. Для этого достаточно записать ее в нормальной гауссовой системе координат:
