Динамика полей в общей теории относительности: Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Кроме излагаемого здесь (см. также [13, 147]), существует и другой подход к теореме Нётер, часто применяемый в классической и квантовой механике. В этом случае исследуют не инвариантность действия относительно преобразований координат, когда физическая система ос-
77
тается прежней, а неизменность действия при движении физической системы относительно фиксированных координат. Оба подхода в плоском мире дают одинаковые результаты, так как в них используются одни и те же физические законы, а само плоское пространство-время однородно и изотропно. В ОТО, однако, движения физических систем как целого относительно фиксированного пространства не всегда возможны ввиду отсутствия в общем случае максимальной подвижности (изометрии), но локально можно ограничиться касательным пространством, так что ортодоксальная форма теоремы Нётер для плоТностных соотношений остается в силе. К ряду тонкостей в этих вопросах мы вернемся позднее. Отметим пока лишь, что и преобразования координат и движение физической системы (ее эволюцию) можно рассматривать как частные случаи канонических преобразований (также и в теории поля).
Обратимся к теореме Нётер в случае бесконечно малых преобразований. Канонические координаты — полевые функции — обозначим Aa . При замене координат (см. § 1.2)
х'М,= XV + (3.1)
полевые функции преобразуются по закону
W3 = А а (х') - Aa (х) , причем, согласно (1.3),
6А, =Аа\т0И°т. (3.2)
Заметим, что операция 5 неперестановочна с частным дифференцированием
S №а, а) = (8Aai а — Aa 13% (а'
тогда как для упрощения вычислений требуется перестановочность. He-перестановочность здесь связана с тем, что формально в определении операции S величины Aa (х') и Aa (х) имеют разные аргументы, хотя и относятся к одной и той же точке пространства-времени. Если же их взять в разных точках, но так, чтобы координаты одной точки до преобразования совпадали с координатами другой, взятыми после преобразования, то получим производную Ли (1.8), (1.9), коммутирующую с операцией частного дифференцирования (1.10). Определению (1.9) можно придать удобный вид:
? = ?ад/дха -5 = 1-6. (3.3)
(!)
Пользуясь формой (1.9) и определением ковариантного дифференцирования (1.48), можно представить ? явно тензорным образом:
? Aa = Aa- а%а - Aa\rak°T,
<*>
что непосредственно выражает одинаковые трансформационные свойства ?Аа и Afi , так что S (?^ Aa ) = Аь)Аа |ь | Т0%°г
78
Сама Нетер рассматривала инвариантность интегрального функционала. Однако, если считать, что интеграл действия инвариантен при любом выборе области интегрирования и относительно любых (не тождественных на границе области) преобразований, то это эквивалентно выбору лагранжиана в виде скалярной плотности (ограничимся таким случаем, учитывая самостоятельную важность понятия действия). Действительно, при этом подынтегральное выражение X (dx) должно вести себя как аксиальный (преобразующийся со знаковой функцией якобиана) скаляр, ибо сам знак интеграла преобразуется по закону [ / ] ' =*= J =
SI SI’
= / sgnJ ввиду перестановки пределов интегрирования, если J < 0.
а
Так как элемент объема преобразуется по закону (dx') = J (dx), то ввиду аксиальной природы X (dx) сам лагранжиан должен быть скалярной плотностью с весом +1:
*'(*')<= Mr1ZIxI
(преобразование с модулем якобиана). При инфинитезимальных преобразованиях (3.1) якобиан равен J = 1 + % , и поэтому 5 =- X %аа.
Переходя к производной Ли, получаем
? ге _(*{«) = о (3.4)
ф
— основное соотношение для вывода теоремы Нетер.
Начав с сильных соотношений, рассмотрим общий случай скалярной плотности, построенной из потенциалов и их первых двух производных:
^ = & (Aa\ Aa а; Aa (х^р) .
Величина ? может быть в первом порядке малости записана как
;w Ay д X.
? X - -— ? Aa + —------------- ? Aa а + —-------- ? Aa а р.
(V (?) ЬАка (?) (?)
Благодаря перестановочности операций ? и да, часть членов можно собрать в стандартную лагранжеву производную /8Aa ; попутно обнаруживается удобство в использовании и другого обозначения:
5<?
(X
t / ъх \
,а х*Аа,а,, р Jtp
Итак, имеем
8? / 8Х ЪХ \
?% = — ? Aa + f — ? Aa + — ? Aa із) •
(I) 8aS (і) \5^»а,а ф дАа,а,0 {%) J-а
(3.5)
Отметим, что оба слагаемых в (3.4), как и в (3.5), — скалярные плот-
79
ности относительно общих преобразований координат. При учете соотношений (3.2) и (3.3) подстановка в (3.4) выражения (3.5) дает
-[¦?''••¦*(¦?40,]'**
+ [И“Iа + + ж cZ0SjiP ] а = °. (3.6)
Здесь введены следующие обозначения:
6?
uO = Х*ао+ -7ГАо
иАд
a SX дХ
_ ----------Agf а — —---------------A3f ajj;
° 8ла,а 'Vfi (37)
ar SX Ir дХ дх IT
шо = т:—aA - і--------------------*.,* + і---------aA J <3-8>
SA3fCc I а ЪАа fCLfT дАа,а,Р
S nf*----------^------Аа\Т). (3.9)
дАа,а,ф Ior
Для краткости будем называть соотношение (3.6), выражающее тот факт, что лагранжиан является скалярной плотностью, условием инвариантности лагранжиана; это условие включает произвольный бесконечно малый вектор ?, который можно исключить, так как лагранжиан должен быть скалярной плотностью относительно всех достаточное число раз дифференцируемых преобразований (3.1). Произвольность вектора ? означает, что локально в качестве %^ар и ^p у берутся
