Динамика полей в общей теории относительности: Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Ta0fjv = — Ьд OVbgixv- * А'
который, таким образом, также является "метрическим" тензором (супер) энергии-импульса квазимаксвелловского гравитационного поля.
Запишем выражение для тензора суперэнергии на языке дифференциальных форм. Заметим, что этот метод записи, столь естественный для тензоров, антисимметричных по всем индексам, может быть успешно применен и для вычисления симметричных величин. Для этого необходимо лишь использовать смешанные операции внешнего произведения и дуального сопряжения (как это было показано на примере тензора Риччи, скалярной кривизны и уравнений Эйнштейна в § 1.4) или внешнего и внутреннего произведений. Например, для электромагнитного поля с помощью вектора монады иа определяется 3-форма плотности 4-вектора энергии-импульса:
^em = (1/8я) Vu * F* F - iuF л * F). (2.54)
Действительно,
^em = -(1Ahr)IAV^ - (1/4>а? FapFaV. 0е =
= ЦиХ *0е = Pe * в€. (2.55)
Здесь * Be — элемент 3-мерного объема. Легко проверить, что скаляр ^em * ^em и Згформа5ет = iu описывают соответственно
плотность энергии и вектор Пойнтинга, а "закон сохранения" (если и — вектор Киллинга) d&em Р^ісҐх) =0 имеет место при удовлетворении уравнений Максвелла в вакууме.
Выражение, аналогичное (2.55) , можно записать и в теории гравитации; здесь соответствующая 3-форма оказывается тензорнозначной:
tTaP = (1/8я) Uu -^axA S20X + іиПахЛ *П^Х) =
= TaPxeUx* ве,
и ее физический смысл далеко не столь очевиден, как в случае электродинамики. Поскольку TaQyiv представляет собой квадратичную конструкцию по тензору кривизны, интерпретируемому как относительная напряженность поля тяготения, то тензор суперэнергии можно истолковать как относительную плотность энергии-импульса вакуумного гравитацион-
75
ного поля. Такая интерпретация, отличная от точки зрения Беля, подтверждается при исследовании энергетических характеристик поля тяготения в геодезических системах координат [40].
О некоторых свойствах гравитационных полей, например о наличии сингулярных точек, можно судить, исследуя инвариантные характеристики пространства-времени. В теории гравитации Эйнштейна такие инварианты строятся из тензора кривизны и метрического тензора. В отличие от электродинамики Максвелла, где имеются всего две инвариантные характеристики, построенные из напряженности электромагнитного поля Ji = FIivFlxv, j2 = ' в 4_МЄрНОМ римановом пространстве-
времени ОТО базис системы инвариантов состоит из 14 элементов. Приведем здесь явный вид всех инвариантов полной системы; некоторые элементы базиса инвариантов здесь отличаются численными коэффициентами от выписанных з монографии А. 3. Петрова [106] (где также дано доказательство независимости элементов полной системы).
Всего имеется один инвариант 1-й степени Ii=Rt три инварианта 2-й степени:
І2 = Rhvr1xv- 1I = Rnv\pRlivXp-- '4 = rJvXpr11vxp''
пять инвариантов 3-й степени:
/* = RixvrvA- /. =*MX^vXp;
/? = R^RvPRflvxp; и = ^VkpRiiVaTR°\p:
=^xp VcrrflV
три инварианта 4-й степени:
-sSW V'
и два инварианта 5-й степени:
/.з = RtivXp^kpHV +
где
= r^\axp
{JLV '
д= AR^RaRr Rp HV а гпн и
IrIrIrpTrI-
76
Глава З
ТЕОРЕМА НЕТЕР И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
3.1. ТОЖДЕСТВА НЁТЕР
Дадим вывод основных соотношений теоремы Нётер (ее тождеств) и некоторых следствий из них, играющих важную роль в установлении канонического формализма, законов сохранения и в их обсуждении. Окончательно отношение к проблеме сохраняющихся величин в ОТО выяснится в последующи* главах, когда мы применим в ней аппарат, связанный с описанием систем отсчета, и учтем асимптотическую структуру пространства времени. Что же касается самой теоремы Нётер, то нас будет интересовать локальная картина (дифференциальные тождества Нётер) , связанная с общей ковариантностью теории. Это наиболее приближается к так называемой второй теореме Нётер (см. [89, 109, 147, 77] и цитированные там источники). Некоторые уточнения, возникшие в ходе развития теории симметрий пространства-времени ОТО, можно найти в последнем разделе этой главы.
Нас интересуют приложения к теоретической физике. Если говорить на ее языке, то теорема Нетер утверждает, что инвариантности интеграла действия относительно преобразований полевых функций при переходах между разными координатными системами соответствуют законы сохранения, причем конкретным группам преобразований отвечает сохранение определенных комплексов физических величин. Объединение этих групп в единое целое объединяет и указанные комплексы, раскрывая их иерархию. Будем подходить к их совокупности "сверху", начав с общих непрерывных и достаточное число раз дифференцируемых бесконечно малых преобразований координат. Здесь не будем обсуждать собственно калибровочные преобразования, действующие в слоях над многообразием пространства-времени (например, градиентное преобразо-ванйе), хотя они и приводят к ряду любопытных последствий даже в теории энергии (см. [168]).
Законы сохранения делятся на сильные и слабые. Если для их вывода достаточно инвариантности некоторой величины (например, действия), то говорят, что это сильные законы сохранения. Если же сохранение существенным образом учитывает, кроме инвариантности, еще и обязательное выполнение уравнений поля (а в механике — уравнений движения), то соответствующие законы сохранения называют слабыми. Сильные законы сохранения можно получить, исследуя на инвариантность (теорема Нётер) любые инвариантные величины, построенные из полевых функций и их производных, пусть даже никак не связанные с физическими задачами. Поэтому более глубокий смысл имеют слабые законы сохранения, опирающиеся сразу и на математически корректную (инвариантную) формулировку действия, и на реально действующие законы физики (экстремальность действия, уравнения полей).
