Динамика полей в общей теории относительности: Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
1 Часто применяемый термин "угловой момент" — неудачный перевод англий-
ского angular momentum; вспомним, что momentum означает не момент (было бы
просто moment), а импульс. Действительно, мсмент импульса с канонической точки зрения — не что иное, как импульс, сопряженный угловой координате.
85
с дивергенциальным членом, выделяющимся из общековариантного лагранжиана, пропорционального скалярной кривизне:
ш “ jcEinst ir^g0fi ~
Следующий из лагранжиана канонический псевдотензор Эйнштейна
j a = ayEinst _ -ву
Einsta л 9fiv,a 0O* Einst
9VV.a
дает по правилу (3.32) выражение, частная дивергенция которого обращается в нуль (дифференциальный закон сохранения), что особенно просто выражается как результат антисимметрии соответствующего суперпотенциала по его верхним индексам:
^ Einst О + ^ і О ~ f Einst OtT ’ (3.34)
^Einsta0 = " i(-9H9Te9a03 - Л™)] „ • (3.35)
2KV— 9 '
С помощью этого суперпотемциала, пользуясь теоремой Гуасса, легко вычислить интегральную энергию (массу) островной физической системы. Для этого следует брать координаты, в которых вектор | ¦ Эд действительно описывает на больших расстояниях сдвиги, т.е. брать асимптотически декартовы координаты. В противном случае обнаруживается парадокс Бауэра (см. [99, 77 3): в асимптотически сферических координатах интегральная энергия оказывается бесконечной, даже если расчет ведется для в точности плоского пространства-времени, вообще не содержащего никакой энергии!. К этому парадоксу мы еще вернемся в дальнейшем, а пока лишь отметим, что он обнаруживается и для прочих псевдотензоров (кроме, разве что, псевдотензора Пепапетру, если подходить к нему корректным образом). Общековариантный гравитационный лагранжиан
Xg = —-------Я
2К
непосредственно приводит к другому псевдотензору, найденному первоначально Шрёдингером, а затем, после десятилетий забвения, переоткрытому Н.В. Мицкевичем и Мёллером (они независимо пришли к нему с разных сторон в публикациях, появившихся в 1958 г.) . Этот псевдотензор ШММ выражается с помощью суперпотенциала соотношением типа (3.34), причем
1 та _ ^ ~9 і. _ . Cr соо
UJMMO 2к '9OOJ, е OC1 ох9 9 (3 36>
Запишем здесь для общековариантного лагранжиана также величины л Jf = ^EL (2/? - 9ahTa - ,?) (3.37)
1 Соответствующая статья [75] была направлена в ЖЭТФ в 1956 г., но увидела свет лишь в 1958 г. на немецком языке в журнале Annalen der Physik в ГДР.
86
и
Псевдотензор UJMM обладает лучшими трансформационными свойствами, чем псевдотензор Эйнштейна (парадокс типа Бауэра для него сильно завуалирован). Отметим одно специфическое свойство псевдотензора ШММ. Если взять стационарное вакуумное гравитационное поле, для которого метрика имеет вид Керра—Шилда, то легко показать, что суперпотенциал ШММ имеет вид градиента
так что псевдотензор ШММ отличен от нуля лишь в сингулярной точке для компоненты 00:А q ® — А (А//К) ~ б (г ).
Широко известен также псевдотензор Ландау—Лифшица—Фока (ЛЛФ), который, в отличие от указанных выше двух псевдотензоров, имеет два контравариант-ных индекса, по которым он симметричен. Он также может быть выражен через суперпотенциал, построенный исключительно с помощью гравитационных переменных [хотя выражает свойства всех присутствующих полей в совокупности, ср. с (3.32)]:
Псевдотензор ЛЛФ также приводит к парадоксу Бауэра, и при анализе островных систем его следует рассматривать в асимптотически декартовых координатах. Существует простая связь между суперпотенциалами Эйнштейна и ЛЛФ:
Обсуждение некоторых других сторон теории псевдотензора ЛЛФ можно найти в [61] и в [143].
В стороне от только что обсуждавшихся псевдотензоров стоит псевдотензор Папапетру (симметричный, с двумя верхними индексами). Он не следует из общих конструкций одноиндексных сохраняющихся величин (см. § 3.4) при конкретизации векторного поля ?, но может быть построен с помощью строительного материала, предоставляемого тождествами Нётер [77]. Однако его более логично выводить из так называемого двуметрического (биметрического) формализма, не выходя при этом за рамки теории гравитации Эйнштейна (см. § 4.2). Приведем здесь модернизированный вариант нашего старого вывода. Обозначим искомый псевдо-
тензор как и1Он должен обладать, прежде всего, двумя свойствами: симметрии
конструкцию входит кроме метрического тензора (и его первых — допускаются и вторые — производных) также метрика Минковского. Здесь будем считать, что рассматриваемые координаты — декартовы относительно этой плоской метрики. В качестве конструкций, включающих метрический тензор, возьмем плотность биспина, дважды продифференцированную по пространственно-временным координатам. Тогда, используя метод неопределенных коэффициентов, легко прийти (с точностью до постоянного общего множителя) к выражению
(3.38)
и сохранения
отличие от псевдотензора ЛЛФ, в его
= + TlffrTlaa - Tlr0apVya) >ът.
87
при подстановке в которое величины (3.37) получается
** = {^V°T + ~ - ?РТг*а°] .«.г’ (339)
Выбор постоянного коэффициента делается из тех соображений, что правая часть (3.39) в приближении слабого гравитационного поля совпадает с левой стороной уравнений Эйнштейна; она линейна по of так что эти величины удобно выбрать в качестве гравитационных переменных (в частности, условие гармоничности s О можно трактовать тогда в аналогии с условием Лоренца в электродинамике) . В полной теории с. учетом нелинейности гравитационного поля выражение
