Динамика полей в общей теории относительности: Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
55
квантовых закономерностей), то описание электромагнитного поля становится невозможно свести к тензору напряженности. Однако в классической теории для пробных частиц, не обладающих характеристиками спина, достаточно осуществить явно операции, указанные в (2.1).
Вводя 1-форму 3-скорости i/(i/- г= 0), можно расщепить и на монаду т (взятую здесь как ковектор) и v:
и = Ut (г + v). (2.2)
Тогда 4-импульс частицы записывается как
р: = mu = S т + P, (2.3)
где & — энергия и P- 3-импульс (ковектор) этой частицы, причем P t=O и P=Sv, так что множитель Ut в разложении (2.2) удобно представить в форме Ut= ё/т (одновременно это есть dt/ds, где dt — интервал физического времени данной системы отсчета, a ds — интервал собственного времени между двумя бесконечно близкими точками на мировой линии рассматриваемой частицы). Тогда в предварительной записи уравнения (2.1) принимают вид
(т + у) A *d( g т + P+ еА) =0. (2.4)
Прокомментируем те 6 слагаемых, которые здесь возникли. Прежде
всего, заметим, что для любой 1-формы, лежащей в подпространстве,
ортогональном г, а не только для импульса, ? P = — * (г a *d P ).
T
На основании выражений (1.73) и (1.76) dr = T л G — 2 * (т л со). Здесь G — ускорение, а со — угловая скорость вращения системы отсчета. В результате
* (г А * d {?> т)) = dt - (?g Ir - SG.
т
Определенный недостаток такой записи (коренящийся в рассмотрении всех ковекторов, включая и и, как полей и соответственно дифференцируемых частным образом по координатам) состоит в появлении градиента энергии пробной частицы. Однако сделанное замечание позволяет с таким недостатком мириться.
Следующая величина имеет электромагнитную природу — это 1-форма электрической напряженности (ортогональная т):
* (г А * dA) = * (т л * F) = E.
Здесь введена 2-форма электромагнитной напряженности:
F = (1/2)FX|/0Xa = dA, (2.5)
где было сочтено за благо включить в определение фактор 1/2. Примем теперь во внимание естественное определение 3-мерного векторного произведения двух ковекторов, а и Ь, ортогональных т:
а х Ь: = * (за глЬ). (2.6)
Это 1-форма, лежащая в 3-пространстве системы отсчета. В свою оче-
56
редь, скалярное произведение в 3-мерном смысле (для величин, лежащих в 3-пространстве) будем писать через
V AG : = -9 Wf G), (2.7)
имея в виду как векторы, так и ковекторы. Тогда
* (v д * с/д) = * (у л * (? л т)) — * W А В А г) =
= vxB+ (EA v)r,
так как 2-форма электромагнитной напряженности распадается He части, содержащие по отдельности электрическую напряженность и магнитную индукцию (вместе с тем, это — определение последних):
F=Eat + * (В At). (2.8)
Отсюда
E = * (т Л * F) и В = * (т A F) . (2.9)
Теперь, возвращаясь к неэлектромагнитным величинам, остается записать
*(і/Л * d(& т)) = 2§ V х w - (SvaG — va gr<^ S ) т
и
* (V Л .tf;P) -- -(V А ? Р)т + х - P\;fi>PX- (2.10)
Здесь — ковекторный базис, спроектированный на 3-пространство, ортогональное г [см. (1.66)]. Второе слагаемое в (2.10) представляет собой векторное произведение V и 3-мерного ротора tP , записанное в общековариантном виде.
Чтобы должным образом осуществить приведение подобных членов, привлечем тождество
V ж ? 9 = ?« - (1 /&) 9 VvDlw'
TT м
которое нетрудно проверить, опираясь на выражение для тензора скоростей деформации системы отсчета (1.67) или
f g»v = —2Dи ре-
T
лятивистскую связь между энергией и импульсом частицы ё 2— f2 — = т2, следующую из определения (2.3). В результате уравнения движения (2.4) распадаются на составляющую, направленную по монаде, и на часть, лежащую в 3-пространстве системы отсчета. Запишем первую в двух видах:
1) с производной Ли по вектору монады
? § -VA grad і = (1/<S ) 9 S3vDiiv + v А (е E - SG),
где левая часть может быть понята как обобщение субстанциальной производной, известной из механики сплошных сред;
5?
2) с производной Ли по вектору 4-скорости частицы (т. е. вдоль ее мировой линии, что отвечает субстанциальной производной)
? & = + — *аієЕ- SG). (2.11)
и т H- V т
Вторая (трехкомпонентная) составляющая уравнений движения запи-. сывается лишь через производную Ли по монаде:
? Р, + VTfP = еЕ + е* X В - I G + 2g » х Wi (2.12)
т v
так как дифференцирование Ли по 4-скорости и выводит из 3-мерного подпространства системы отсчета, и его использование поэтому не отвечает сути задачи. Здесь мы привлекли введенную в гл. 1 дифференциальную операцию (1.69), приспособленную, естественно, к определению системы отсчета через поле монады т.
В последнем выражении явно просматривается гравитационно-электромагнитная аналогия. Электрической напряженности соответствует ускорение системы отсчета (с обратным знаком, так как ему отвечает относительное ускорение свободной частицы, направленное в противоположную сторону); магнитной индукции соответствует удвоенная угловая скорость вращения системы отсчета. Эти величины будем называть также квазиэлектрической и квазимагнитной напряженностями гравитационного поля. Методика экспериментального определения всех этих характеристик полей очевидна из уравнений (2.12) : не зависящая скорости движения пробной частицы часть силы распадается на двг слагаемых, которые можно различать, пользуясь пробными частицами с разными значениями удельного заряда. В них не зависящий от свойств частицы множитель и есть искомая напряженность (электрического или квазиэлектрического гравитационного полей) . Подобным же образом опыт дает возможность, рассматривая дополнительно движение пробных частиц с разными мгновенными скоростями, определять индукцию магнитного поля Vi напряженность (ее можно называть и индукцией) квази-магнитного гравитационного поля. Левую же часть уравнений (2.12) можно трактовать как субстанциальную производную по времени от 3-импульса электрически заряженной пробной массы. Аналогичная форма уравнений движения была получена в монадном формализме А. Л. Зельмановым [44], однако наша запись отличается тем преимуществом, что в ней каждое слагаемое тензорное и имеет ясный физикогеометрический смысл. В определенной связи с идеями А. Л. Зельманова (еще относящимися главным образом к формализму хронометрических инвариантов) и благодаря стимулирующему влиянию энтузиастов разработки формализмов систем отсчета (в первую очередь В. И. Родичева, А. Б. Левашева, О. С. Иваницкой) еще в 1972 г. уравнения такого же типа [но также со слагаемым типа связности, не введенным в операцию (1.69), как это сделано здесь] записаны в группе Ю. С. Владимирова [18,19].
