Динамика полей в общей теории относительности: Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
diva: = Ьа a v T a = 8a — GAa, (2.18)
ьа
а ротор — как
rot а : = - * (та bav T л a) - - * {т л da) . (2.19)
bCt
(на обеих операциях вращение системы отсчета не отражается, и они используются без изменений в ли-монадном формализме в § 2.4). Тогда уравнения Максвелла, имеющие в единицах Хевисайда тензорный вид
52
F^v. =— jV, запишутся в 3-мерной форме как div? = р - 2gj а В;
(rotB — ? E — J +GxB) (1/2) Dbv ], (2.20)
f МММ
а четверка уравнений Максвелла, имеющая смысл условий интегрируемости 4-потенциала, F^v . v = 0, запишется как
div В = 2а> а Е, (rot E + ? В + GxE)*,=
т
= TBvIDvtl - (1/2)05*]. (2.21)
Напомним, что использованные здесь операции определяются как (1.9), (1.30), (1.27), (1.69), причем берется величина (1.66); так же обозначается и соответствующий ковектор. Следует подчеркнуть, что ввиду отсутствия во вращающейся системе операции дифференцирования Ли, относительно которой проектор вида (1.79) оставался бы постоянным, приходится существенным образом ограничиваться дифференцированием по времени ковариантных компонент.
2.4. УРАВНЕНИЯ ПОЛЯ И НАБЛЮДАЕМЫЕ В ЛИ МОНАДНОМ ФОРМАЛИЗМЕ
Уравнения Максвелла. Лагранжиан электромагнитного поля с источниками запишем в виде
*ет = -(VzF/4)fHvPixp - у/~FitlAfl. (2.22)
Используя 3 + 1-расщепление пространства-времени, перепишем его следующим образом:
*ет = -(Vc^) - ВИВ^ - Н/ЛОдЛг + Ар/Р].
(2.23)
,где E^i — вектор электрической напряженности; B^i — вектор магнитной индукции; \J—gp = \f~9I^Tjj — плотность зарядов; \/—д j— плотность
3-тока (ср. с § 2.3) . Векторы E и В выражаются через At = А^ и Arr [см. также (2.9) ]:
Eyi = -(1/Л/) (f A- + At д); (2.24)
Bfx = -CfivxA-д. (2.25)
Уравнения Максвелла Fa^ ~—ja получаются из вариационного прин-ципа при варьировании интеграла действия
'2
' = / dt S *emd3x , и I
63
по переменным At и А-:
Ht
(MVb) (VbEa)la = P, (2.26)
(MyJb)? (VbElx) = -Cfjvx(NBv) )х - NjTi. (227)
Оставшиеся уравнения, F*@q=Q, которые, по сути дела, выполняются тождественно и из вариационного принципа не выводятся, имеют вид:
(1/Vb)? (VbBlj) =e»vX (NEv)ix; (2.28)
(VVb)(VbBtx)^fl= 0. (2.29)
Перепишем систему уравнений Максвелла, введя обозначения дивергенции и ротора:
div E = р; (2.30)
rot В = (MVI9)? (VbE) + j + В XG; (2.31)
S
rotE = (-1/v^)? (ч/йВ) + ExG; (2.32)
div B=O. (2.33)
Здесь явно видно влияние системы отсчета. Оно проявляется в том, что в правой части уравнений Максвелла возникают эффективные источники, связанные с ускорением системы отсчета. Напомним, что в ли-монадном подходе система отсчета не вращается. Уравнения Максвелла с учетом вращение см. в конце § 2.3.
Гамильтонова формулировка электродинамики. Определим плотность канонического импульса л, сопряженного А:
^ = b*eJb\V
Заметим, что лагранжиан электромагнитного поля не зависит от ? At
и, следовательно, я -импульс, сопряженный At, равен нулю. Это означает, что в электродинамике имеется одно уравнение связи (первичная связь по терминологии Дирака [33 — 36]), и производную ? At нельзя выразить через импульсы. ?
В соответствии с определением (1.98) для гамильтониана электромагнитного поля получаем выражение
Ъ =-----J- - At (Jrj1ju - Vbp) +
Vb
+ (2.34)
где dS' : = \fb В и ^ определен с точностью до 3-мерной дивергенции. 64
С учетом уравнения связи запишем действие для электромагнитного поля с источниками:
t 2
/ = / dt f (п^? A77 + пт ? At - % + Xrrt )d3x.
t H t *
U X Z 5
Здесь X — неопределенный множитель Лагранжа. Система уравнений, получающаяся при варьировании действия по переменным At, пт, A-, имеет вид
I Afi = - (NZyfb)Itll + At' р: ? ITt = Itfll- у/Бр = 0; (2.35)
? At = -х, ? ^i = -^x(ZVSv)ix - y/^gji1 (2.36)
% %
и описывает электромагнитное поле в гамильтоновом подходе. Обратим внимание на то обстоятельство, что одно из уравнений Максвелла,
— \fb р = 0, приводит к сохранению первичной связи со временем ? ITt =0. Оно называется уравнением вторичной связи. Уравнение первичной связи Itt = 0 получается при варьировании по X. Геометрический смысл этой связи прозрачен — она генерирует калибровочные преобразования электромагнитного поля 15, 137].
Подробное обсуждение электродинамики в плоском мире можно найти в работах Андерсона [1] и Фаддеева [137]. Существенным отличием нашего подхода от более ранних является использование ли-монадного формализма, позволяющего описать эволюцию поля в произвольных системах отсчета без вращения.
Уравнения Эйнштейна. Для свободного гравитационного поля действие строится из скалярной кривизны:
U
2к/ = / dt fy/^gRd^x. (2.37)
U X
После исключения полной производной по времени (? (Vbx)) и 3-мерной дивергенции лагранжиан свободного гравитационного поля записывается в виде
хд = V=7c'* + XllXv -X2).
Отсюда для плотности канонического импульса получаем
= а* /ъ?ьф = VF(Xa^ - ь#х).
У S
соответственно, гамильтониан равен
"h/г (V"- ~И
(2.38)
(2.39)
"(2.40)
