Динамика полей в общей теории относительности: Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Алгебраическая классификация гравитационных полей по Петрову представляет собой классификацию возможных типов тензора Вейля. Очевидно, что классификацию гравитационных полей в ОТО невозможно производить, основываясь только на метрическом тензоре или коэффициентах связности; локально все эти объекты не проявляют специфических признаков, по которым была бы возможна классификация. Лишь тензор кривизны (и в дальнейшем — его производные) предоставляют такую возможность. Тензор кривизны разбивается на три неприводимые величины — скалярную кривизну, бесследовую часть тензора Риччи и тензор конформной кривизны Вейля. Скалярная кривизна указывает на три возможности: когда она положительна, равна нулю и отрицательна. Классификация по свойствам тензора Риччи значительно более богата возможностями, однако мы не будем здесь ею заниматься (см., например, [108]). Итак, обратимся к классификации пс свойствам тензора Вейля, который удобно описывать с помощью автодуальных величин (1.119), образующих с точки зрения 3-мерного комплексного евклидова векторного пространства с метрикой (1.114) симметричный бесследовый тензор с валентностью, равной 2:
[его построение очевидно по методу определения 3-мерных индексов в
(1.113)]. Удобнее, однако, пользоваться вместо базиса с метрикой
(1.114) обычным 3-мерным декартовым базисом в комплексном векторном пространстве. Для этого с помощью матрицы А (1.116) комплексные 3-векторы преобразует по закону (1.115); матрицу же Вейля
(1.126) удобнее сначала привести к виду с одним нижним и одним верх-
48
(1.126)
ним индексами:
WCpW =
Q
^2 2^3
*о ^2 2Ф,
-^l -4f3 -2^2
и только тогда получим симметричную и бесследовую [в обычном смысле — в случае (1.126) бесследовость реализовалась лишь с помощью 3-метрики (1.114)] матрицу для декартова базиса:
В дальнейшем не будем писать штриха у этой матрицы, как и у компонент комплексных 3-векторов в декартовом базисе.
Итак, комплексная матрица Вейля С обладает свойствами
Классификация таких матриц основывается на исследовании их собственных векторов F и собственных значений X, вытекающих из уравнения
(F — столбец). Собственные значения являются корнями характеристического уравнения det (С — X/ ) = 0, представляющего собой кубическое уравнение с комплексными коэффициентами для определения X. Согласно известным свойствам матриц, для трех корней X/ det С =XiX2X3 и Хт С = Xi + X2 "Ь Хз = 0.
Для полного построения классификации Петрова необходимо знать и свойства собственных векторов F. Для этого учтем прежде всего три важные теоремы, справедливые для комплексных 3-векторов:
1. Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух изотропных векторов является их ортогональность. (Такая же теорема справедлива и для векторов 4-мерного действительного псевдориманова пространства.)
2. В тройке взаимно ортогональных линейно независимых векторов не может быть изотропного вектора. (В псевдоримановом пространстве это не так.)
3. Два собственных вектора симметричной 3 х 3-матрицы, отвечающих разным собственным значениям, взаимно ортогональны и линейно независимы. (Это характерно и для квантовой механики, где матрицы операторов эрмитовы и, вообще говоря, бесконечномерны.)
С' = A1 Wcpq IlА;
С'= -j-№0-*4)
і ('і'з + )
—L W0- 2*2 + *4) №3 - Ф
-2*2
і №з + Ф
(1.127)
C = C, XrC = 0.
(1.128)
CF = XF
(1.129)
49
Обычный прием при работе с величинами в 3-мерном комплексном пространстве — использование ортонормированного ^базиса ^триады). Обозначим его векторы К, L, M (столбцы) : KK = ZL = MM = 1; f(L =LM= = MK= 0.
Полезно также учитывать соотношение
M = ± К х L или Mi = ± е,у* KjLk, (1.130)
где знак выбирается в зависимости от левого или правого характера тройки векторов триады.
Приступим к построению классификации (см. [125]).
Случай 1. Все собственные значения X/ разные. Из теорем 3 и 1 тогда вытекает, что соответствующие собственные векторы взаимно ортогональны и неизотропны. Нормируя их, получаем привилегированную триаду. Из ее векторов можно построить матрицу ортогонального преобразования по правилу
Применение этой матрицы к векторам и квадратным матрицам
соответствует переходу к новому базису, в основу которого и положена данная тетрада (преобразование сводится к повороту). В частности, ее векторы принимают в новом базисе вид
Это канонический вид матрицы Вейля в данном случае. Если все собственные значения отличны от нуля, ранг матрицы равен трем и мы говорим о типе I (в узком смысле). Если же одно из собственных значений равно нулю, то ранг равен двум, и мы говорим о подтипе В типа I. Однако тип I не исчерпывается этими двумя подтипами.
Случай 2. Два собственных значения совпадают друг с другом, т. е. Xi Ф X2 = X3 (их всегда можно перенумеровать таким образом). На основании предпосланных классификации теорем видно, что один из собственных векторов может быть изотропным (хотя и не обязательно). Во всяком случае, имеется два взаимно ортогональных и линейно независимых собственных вектора. Поэтому рассмотрим два варианта.
