Динамика полей в общей теории относительности: Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Случай 2а. Оба собственных вектора неизотропны. В нормированном виде обозначим их как KnL; согласно (1.130), можно единствен-
(KLM).
(1.131)
TF = F'; TCT = С'
(1.132)
Преобразуя таким образом матрицу Вейля, находим: С = diag (Xlt X2, X3).
(1.133)
50
ным образом (с точностью до четности триады) ввести и третий вектор М. Снова произведем преобразование (1.131), (1.132) :
Из уравнений для собственных векторов и из бесследовости матрицы Вейля получим каноническую форму матрицы Вейля для случая 2а:
Она отличается от (1.133) лишь совпадением значений X2 и Хз, и мы говорим о вырожденном типе I, или о подтипе D. Ранг матрицы Вейля при этом остается максимальным (3).
Случай 26. Собственное значение кратностью 1 отвечает неизотропному собственному вектору, а кратностью 2 — изотропному. Первый из них при нормировке дает AT. Второй обозначим / (не путать с обычным обозначением для единичной матрицы). Ясно, что можно выбрать базис так, чтобы / = L + \М (с точностью до фазового множителя, которым и будем распоряжаться при переходе к канонической форме матрицы Вейля). Найдем компоненты матрицы Вейля относительно нового базиса Kf Lf М. Запишем уравнение для собственных векторов:
CK = Xi/C Cl = CL + \СМ = X2 (L + іМ),
откуда затем легко получить, связи между компонентами Cf; если к тому же ввести обозначение LCM * і а, то
Введя комплексный угол, для которого ехр(2і<р) = а, получим окончательно
Будем говорить об этом варианте как о типе Il в узком смысле; ему соответствует матрица Вейля ранга 3 (напомним, что все собственные
51
C9 - diag(Xi, ^2, X2).
(1.134)
/ KCK KCL KCM С' = I KCL LCL LCM \КСМ LCM MCM
(
X1 о о
О Х2 + a ia
О ia X2
(1.135)
Преобразуем базис, поворачивая его в "плоскости" L, М, когда
О
X2 + 1
(1.136)
значения здесь отличны от 0). Можно было бы подумать, что реализуется и вариант 2в, однако легко убедиться в обратном: предположение о том, что собственное значение кратностью 2 отвечает неизотропному собственному вектору, ведет к противоречию.
Случай 3. Все собственные значения одинаковы и, следовательно, равны 0. Очевидно, что теперь матрица Вейля не может иметь ранг 3. Приходим снова к разным вариантам.
Случай За. Пусть существует неизотропный собственный вектор, который после нормировки можно обозначать К. Дополним его произвольным образом до триады и преобразуем с ее помощью матрицу Вейля. Так как CK = 0, то KCK = KCL = KCM = 0. Обозначая a = LCL и i/3 = = LCMvi учитывая равенство 0 следа матрицы Вейля, находим
Однако ранг матрицы не должен превышать 1, так как в противном случае существовал бы собственный вектор с отличным от нуля собственным значением, а это противоречило бы нашим предположениям. Поэтому должно быть 0 = ± а, где можно ограничиться знаком "+" (так как всегда можно переменить четность триады). Тем самым мы вновь пришли к матрице вида (1.135), но для X1 =X2 = 0. Поэтому использованное в случае 26 преобразование приводит к каноническому виду матрицы Вейля:
Это вырожденный тип Il по Петрову, часто называемый типом N.
Случай 36. Существует только изотропный собственный вектор / . Запишем его через векторы триады как / =K + і М. Тогда CK + і CM = = 0, откуда легко получить связи между компонентами матрицы Вейля, включая соотношение КCK + MCM = 0, причем LCL в силу бесследо-вости матрицы Вейля. Введя обозначения KCK = а и KCL = /3, запишем преобразованную матрицу Вейля в виде
Ранг этой матрицы может быть, самое большее, равен 2, так что, сохраняя его для общности, мы не можем надеяться устранить 0 [иначе ранг снизился бы до единицы, и мы вернулись бы к матрице (1.137) с другой нумерацией координатных осей]. Попытаемся устранить а, т. е. обратить элементы на обеих диагоналях в нуль. Это можно сделать, переходя к
52
(1.137)
ортонормированной триаде
Z =
относительно которой матрица Вейля принимает канонический вид
соответствующий типу IN по Петрову.
Случай Зв: матрица Вейля тождественно равна 0 (ранг 0, конформно-плоское пространство-время). При этом, конечно, роль собственного вектора может выполнять любой вектор.
Итоги. При определении типа пространства-времени по Петрову следует прежде всего вычислить в исследуемой точке значения компонент тензора Вейля и построить по ним матрицу Вейля (1.127). Если все компоненты окажутся равными 0, пространство-время в этой точке — конформноплоское (тип 0). Если же ранг матрицы Вейля равен 1, то реализуется тип N (вырожденный тип II), Который часто связывают с "чисто волновыми гравитационными полями" и к которому относятся, в частности, плоские бегущие слабые гравитационные волны. Все собственные значения матрицы Вейля при этом равны 0, а система собственных векторов сводится к одному жестко определенному изотропному вектору в комплексном 3-пространстве и всех ему ортогональных (образующих плоскость, проходящую через изотропный собственный вектор) . Если же ранг матрицы Вейля равен 2, то возможны два случая: либо все собственные векторы неизотропны и жестко заданы, либо существует единственный жестко заданный изотропный собственный вектор (в последнем случае все собственные значения равны 0). Первое дает частный случай типа I, когда одно из собственных значений нулевое (мы назвали его типом В), второе же дает тип III. Остается случай матрицы Вейля ранга 3. Если все собственные значения различны (и поэтому все собственные векторы неизотропны, взаимно ортогональны и заданы жестко), речь
