Динамика полей в общей теории относительности: Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Гравитационное взаимодействие универсально в том смысле, что все объекты (по крайней мере классические, т. е. неквантовые) подвержены ему и генерируют гравитационное поле (обладают отличным от нуля тензором энергии-импульса). С другой стороны, все эти объекты характеризуются величинами, зависящими от пространственных и временной координат и преобразующимися определенным образом при преобразованиях этих координат. Говорят, что пространство-время является уни-
60
версальной "формой" существования материи (в определенном смысле, способом ее существования). Эти две универсальные сущности — гравитация и пространство-время - относятся к совершенно разным категориям, и мог бы показаться странным вопрос о том, не связаны ли.как-то друг с другом их качества универсальности. Однако этот вопрос законен, и ответ на него положителен! Вспомним, например, что из инвариантности интеграла действия, описывающего физическую систему, следует структура тензора энергии-импульса и закон его (ковариантного) сохранения, причем этот тензор является, согласно уравнениям Эйнштейна, источником гравитационного поля и определяет гравитационное взаимодействие. Круг, тем самым, замыкается, и уже представляется совершенно естественным, что гравитационное поле должно описываться геометрическими объектами.
Язык, на котором проводится описание любого данного поля, связан с отвечающими ему степенями свободы. Эти степени свободы находят отражение в тех калибровочных преобразованиях, из которых можно получить основные характеристики эюго взаимодействия. Для электромагнетизма специфичны градиентные преобразования 4-потенциала, т. е. инвариантность теории относительно добавления к 1 -форме А точной формы (в принципе, достаточно инвариантности относительно добавления замкнутой формы) . В теории гравитации картина богаче: не только метрика, но и связность (или совокупность ускорения, угловой скорости вращения и скоростей деформации системы отсчета) изменяются при преобразованиях, которые можно рассматривать в качестве калибровочных, и только кривизна представляет собой вполне инвариантный объект, аналогичный в этом отношении электромагнитной напряженности. Этот факт отражает не случайный (как в случае электродинамики, где одинаковые удельные заряды — всего лишь довольно неестественное и искусственное предположение о выборе конкретной системы), а фундаментальный характер принципа эквивалентности в природе. Вместо двух "этажей" - потенциала и напряженности — в электродинамике, в гравитации существуют три "этажа" — метрика, связность и кривизна, и аналогия между двумя полями осложняется весьма специфическим расщеплением, которое можно наглядно изобразить на схеме:
Электродинамика: Гравитация:
(один из авторов этой книги даже предлагал называть метрику субпотенциалом гравитационного поля [77]).
Градиентные преобразования в электродинамике можно использовать весьма любопытным образом: с их помощью потенциал А всегда можно сделать нормированным на +1, —1 или 0 (изотропным) — по желанию! [34]. Действительно, требование такой нормировки равносильно выполнению дифференциального уравнения первого порядка:
кривизна
д (А\ Af) + 2д (А\ dip) + д (d<p, dip) = О,
(2.15)
61
где правая сторона равенства определяется выбором ^ормировки А -
- (а/у/к) о; д (о, о) =е = ± >1, 0, a А' — исходная 1-форна потенциала до калибровки. Здесь к — эйнштейновская гравитационна^постоянная, введенная для согласования размерностей, а а — безразмерная постоянная, которой можно распоряжаться любым образом. Bonp^p об интегрируемости таких уравнений решается положительно [112, ІгІО].
Взяв, в частности, о = т (монада), получим
а 2 а
E =---------Gf B = ---------- cj, (2.16)
у/к у/к
так что уравнения движения приведутся к виду
? 9і + vlfi= (— + ё I (-G + 2 (V X со)) (2.17)
r W J
(электромагнитное поле уводит частицу с энергетической поверхности в импульсном пространстве).
Конечно, было бы привлекательно уже на уровне конструкции (2.1) получить А= — (m/е) и, но тогда система для нахождения калибровочной функции становится переопределенной. Однако можно сразу же указать одно решение, которое существует всегда. Действительно, есгш электромагнитный 4-потенциал откалибровать в виде, пропорциональном монаде, А = — (т/е) т (что всегда возможно, см, выше), то и = т автоматически будет удовлетворять уравнениям (2.1), хотя, конечно, это лишь частное решение.
В соотношениях ли-монадного формализма отсутствуют слагаемые, обусловленные вращением систем отсчета, так как в ли монадном подходе существенно использование нсвращающихся конгруэнций. Поэтому уравнения Максвелла (2.30) - (2.33), которые будут записаны в рамках этого формализма, не отражают всего многообразия физических эффектов взаимодействия электромагнитных полей с силами инерции (пожалуй, вернее было бы сказать: интерференции этих физических факторов) . Чтобы учесть эффекты вращения в электродинамике, следует привести уравнения Максвелла просто в монадной записи, причем в 3-мерной символике, наглядно связываемой с интегральными законами. Для этого предварительно введем операции дивергенции и ротора 3- вектора a : аата = 0, вспомнив выражения для 3-мерных скалярного (2.7) и векторного (2.6) произведений. Дивергенцию естественно задать как
