Динамика полей в общей теории относительности: Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим, каким образом изменится вид гамильтоновой, связи при конформном преобразовании 3-мерной метрики Ь,у = <рАЬ(у. Для символов Кристоффеля
г;* * г', * m «s'*, ¦ 5'*, - JS,*
а для 3-мерной скалярной кривизны —
R = RlJ + КЩЪ) Д<Л
где А — 3-мерный лапласиан относительно базисной метрики (впервые это уравнение было получено Лихнеровичем [64]). Отличие в знаке от аналогичного выражения у Йорка связано с определением тензора Риччи. С учетом конформного преобразования перепишем гамильтонову связь в виде
S-V7KyJi- d/2)TT2] + <pR +8Д?>= —2W5P- (2.47)
Здесь р = TfxvTflTv. Это уравнение определяет конформный фактор ф. Более детальное обсуждение проблемы выделения независимых степе-
72
ней свободы в методе Йорка можно найти в оригинальных работах этого автора, ссылки на которые были приведены выше, а также в [73].
2 + 1 + 1-подход. Процедура выделения независимых степеней свободы гравитационного поля в рамках 2 + 1 + 1-подхода к гамильтоновой динамике была предложена в [18,20]. В кинеметрически-инвариантной калибровке уравнения связей расщепляются с помощью единичного пространственноподобного векторного поля 1 (развитие этих идей в рамках лимонадного формализма см. в § 1.6). Шесть компонент метрического тензора bPv = a^v — T^rv разбивают на совокупность переменных тЧ іп>/г I1, где ?, г? =2,3; = y/у - конформно-инвариантная
часть 2-мерной метрики. Независимые степени свободы отождествляют с переменными 7^ и канонически сопряженными им импульсами В случае плоских и цилиндрических волн конформно-инвариантная часть 2-метрик совпадает с независимыми переменными, полученными в других подходах. Этот путь представляется геометрически изящным и плодотворным. Обсуждение различных калибровок (2 + 2, 2 + 1 + 1 и т. д.), включая изотропные поверхности и постановку задачи Коши, см. в [4, 18, 32].
25. ИНВАРИАНТЫ И СИММЕТРИЧНЫЕ БЕССЛЕДОВЫЕ ТЕНЗОРЫ
Исследуя проблему излучения в ОТО, Бель [10] и Робинсон по аналогии с электромагнетизмом предложили определение локальной плотности энергии поля тяготения по отношению к единичному вектору, характеризующему временное направление, (монаде) Jx. Приняв обозначения
RO^tpu и ' У(3ц ~ ЯаР\ци и '
zHH = -Я^и°иХ' {2А8)
они назвали плотностью гравитационной энергии скаляр
V = (1/4) + + 2 ZpfiZ^). (2.49)
доказав, что при Ф 0 всегда V > 0.
Подставляя в (2.49) выражения (2.48), находим, что в пустом пространстве-времени
V = ЛтгТар\риаи@и\р,
где величина Тар\р — тензор суперэнергии Беля—Робинсона [43] :
TquXp = И/8я) (RaPnv R^р + R a* fovR\*p®V) =
= (1/8+ Ra^pvRxP/ - d/8) Var^ffrVXpb
(2.50)
В выражении (2.50) прослеживается обсуждавшаяся выше аналогия между гравитационным и электромагнитным полями. Действительно,
73
вспоминая формулу для максвелловского тензора энергии-импульса TaQ=-UMlFmFf+ FaIxFfix] =
= -IVWlFatlFf -(MA)9^F^Far). (2.51)
замечаем ее явное сходство с формулой (250), хотя входящие в эти выражения величины имеют разную тензорную валентность в связи с тем, что роль напряженности в (2.50) играет тензор кривизны риманова пространства-времени (относительная напряженность).
Подобно тензору энергии-импульса в электромагнетизме, тензор суперэнергии симметричен по всем индексам = T(а0ді/) и любая его
свертка в пустом пространстве-времени равна нулю, T^l р =0, в чем нетрудно убедиться простым вычислением с использованием тождеств типа Ланцоша [62]:
яфСяФ*>Ъ - 4Wpt=
""rrtV. - - "'У'Чхо *
* «Г = НЯІ - ЛХр>
Наконец, для тензора суперэнергии в вакууме имеет место ковариантный закон сохранения 0, являющийся следствием тождеств Биан-
ки и равенства нулю тензора Эйнштейна (и тензора Риччи) в пространстве без источников негравитационных полей (так же ковариантную дивергенцию тензора энергии-импульса Максвелла обращают в нуль вакуумные уравнения электромагнитного поля) .
Хорошо известно, что (2.51) является "метрическим" тензором энергии-импульса электромагнитного поля, т. е. он возникает как результат варьирования максвелловского лагранжиана по метрике \jf —д T^v -= -25^em7 ГДЄ
*ет = - (1/1б7г) fOtF0t. (2.52)
Лагранжиан типа (2.52) может быть записан и для гравитационного поля, как это делается в квазимаксвелловском подходе к общей теории относительности [77]. Возникает вопрос: нельзя ли из такого квазимакс-велловского лагранжиана вариационным путем прийти к тензору суперэнергии? Как показали Мицкевич и Сидауй [42], это возможно.
Если рассмотреть плотность функции Лагранжа вида [77]
Xg = [ +
+ efryW” + 2gfayW" -
- gfayxgpw + 4erg#x<Ve). (2.53)
то, считая метрику и связность независимыми переменными (метод Па-
74
латини), получим в результате варьирования (2.53) по связности квази-
максвелловские уравнения [по существу, уравнения (2.22)] R? =
IJVKtt CL
= Rfiv; X “ Z?Xm; v» а после взятия вариационной производной по метрическому тензору — тождества Ланцоша, выражающие факт равенства нулю сверток тензора суперэнергии в вакууме. Проварьируем лагранжиан (2.53) по метрике повторно. Результатом этого оказывается в точности тензор суперэнергии Беля-Робинсона
