Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Тем не менее интегральный подход имеет большие перспективы в формализме хронометрических инвариантов Зельманова (§ 8.9) и Y-MaTp^HOMr формализме (§ 8.6). В первом случае легко получить хронометрически инвариантное 3-скалярное выражение для энергии элемента гиперповерхности (3-мерного элементарною объема). Такой скаляр однозначно переносится в рамках гиперповерхности, так что интеграл имеет вполне определенный смысл; хронометрическая инвариантность интегральной величины гарантируется формой уравнения непрерывности. Однако применение метода хронометрических инвариантов здесь имеет еще более серьезную базу: совершенно очевидным руководящим принципом является требование хронометрической инвариантности и 3-мерной тензорности наблюдаемых в общей теории относительности (и в частной теории, если таковая формулируется в криволинейных координатах!). С другой стороны, из теоремы Нётер можно получить уравнения вида
(Pa0T)ia = O, (2.3.26)
31’
приводящие к матричной сохраняющейся величине
с = 5 рayadSa.
(2.3.27)
Шпурование этой величины с Y-матрицами, отнесенными к мировой точке наблюдателя (опорной точке), дает тензорную интегральную величину {в данном случае —- вектор),
Такое последовательное применение ^-матриц, взятых в разных точках пространства-времени, соответствует новому типу параллельного переноса (типа Вейтценбека) с несимметричной связностью. Действительно, переходя к бесконечно малому пути переноса, имеем
Это 4-мерное построение нетрудно переформулировать в хронометрически инвариантном виде.
В заключение необходимо заметить, что в общей теории относительности отсутствует, вообще говоря, понятие глобальной инерциальной системы отсчета (реализуются лишь локально геодезические аналоги инерциальных систем). Однако законы сохранения механики предполагают еще в частнорелятивистском пределе использования инерциальных систем отсчета; в неинерциальных системах сохранение в обычном смысле не имеет места. Например, неинерциально движущийся наблюдатель в связи с изменением своей скорости отметит «беспричинное» изменение кинетической энергии наблюдаемых им инерциально движущихся тел. Эти обстоятельства приводят к тому, что в общей теории относительности (и в частной, если пользоваться неинерциальными системами отсчета) законы сохранения энергии и импульса приходится обобщать в духе (2.3.27); дальнейшее шпурование, дающее 4-вектор в точке наблюдения (2.3.28), связано с использованием у-матрицы в этой точке, причем матрицу следует брать в системе, движущейся вместе с наблюдателем. Тем самым учитывается влияние глобальной неинерциальности системы отсчета в римановом пространстве, а характер нарушения законов сохранения оказывается тот же, что в плоском мире в неинерциальных системах отсчета, Эти замечания следует учитывать при чтении тех параграфов, в которых идет речь о законах сохранения; мы не будем там возвращаться к ним снова.
2.4. Законы сохранения: теорема Нётер
В предыдущем параграфе мы выяснили, какой вид должны иметь законы сохранения в дифференциальной форме. При этом, если интегральные законы не удается даже сформулировать (трудность состоит прежде всего в выражении интегральной сохраняющейся величины через ее плотность), то дифференциальные законы сохранения остаются в силе и не теряют своего смысла. Теперь мы должны выяснить, следуют ли эти законы сохранения из самых общих положений теории поля; положительный ответ на этот вопрос дает теорема Нётер (Нётер, 1918) 4.
Теорема Нётер утверждает, что инвариантности интеграла действия относительно преобразований потенциалов полей соответствуют законы сохранения, причем конкретным группам преобразований соответствует
1 Cm. также обзор Хилла (1951), в котором подробно рассмотрены нерелятивистские и частнорелятивистские законы сохранения.
Pll = -Isp(Y^C).
(2.3.28)
(2.3.29)
32
сохранение определенных комплексов физических величин. Такая формулировка этой теоремы характерна для частной теории относительности; в общей теории говорить о группах преобразований затруднительно (так как набор координат х^ не образует вектора, та и преобразования не удается в общем случае определить ковариантным образом). Однако привлечение групповых соображений в общей теории относительности для доказательства теоремы Нётер излишне, так как самые общие допустимые в ней преобразования координат (о других видах преобразований, например градиентных, мы говорить здесь не будем) сразу дают всю совокупность интересующих нас сохраняющихся величин. Главная ценность теоремы Нётер состоит именно в том, что она дает конкретные конструкции для величин, сохранение которых в ней доказывается.
Законы сохранения делятся на сильные и слабые. Если для их получения достаточно только инвариантности некоторой величины (пусть даже действия), то говорят, что эти законы сохранения сильные. Если же сохранение существенным образом следует, кроме инвариантности, еще и из обязательного выполнения уравнений поля (в механике — уравнений движения), то оно называется слабым. Сильные законы сохранения можно получить, исследуя на инвариантность любые инвариантные величины, построенные из потенциалов полей и их производных, и поэтому более глубокий физический смысл имеют слабые законы, опирающиеся сразу я на математически корректную формулировку действия (его инвариантность) , и на реально действующие законы физики (уравнения полей).
