Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Мы обсуждаем здесь- ортодоксальный подход к теореме Нётер, восходящей к работе самой Нётер, и усовершенствуем лишь ее математическую формулировку. Вместе с этим нужно указать на существование другого подхода к эдюй теореме, часто применяемого в классической и в квантовой механике. В этом случае исследуется не инвариантность действия при преобразовании координат, когда физическая система остается прещней, а неизменность этой величины при движении физической системы* относительно фиксированной системы координат. Оба подхода самостоятельны, но дают одинаковые результаты, так как в них фактически используются одни и те же физические законы (уравнения поля). В общей теории относительности движения физических систем как целого относительно фиксированного пространства не всегда возможны ввиду неоднородности искривленного пространства, но инвариантность действия задается тензорным характером теории, так что ортодоксальная форма теоремы Нётер здесь остается в силе. Кроме того, в малом риманово пространство проявляет те же свойства однородности, что и псевдоэвклидово, так как в соответствующие соотношения не входит кривизна, и это допускает формулировку дифференциальных законов сохранения. Наконец, следует отметить, что и преобразования координат, и движение физической системы можно рассматривать как частные случаи канонических преобразований (также и в теории поля). К этому вопросу мы вернемся позднее.
В классической (неквантовой) физике теорема Нётер доказывается лишь для бесконечно малых преобразований. Эти преобразования рассматривались в применении к величинам Ab (теперь мы обозначаем так канонические координаты — потенциалы полей) во введении [см. формулы
(1.13)-(1.20)]. Итак, при замене координат
Х'Ц _ ХЦ
потенциалы преобразуются по закону т}АВ = Ав'(х') —Ав(х),
(2.4.1)
(2.4.2)
причем
T]АВ = Яв|ат*5,т.
З Н. В. Мицкевич
(2.4.3)
зз
Заметим, что операция T1 неперестановочна с частным дифференцированием,
Т) (4в, а) = (тйв), а — А в, P • if а, (2-4.4)
а для упрощения вычислений была бы очень полезна перестановочность. Это обстоятельство — появление соотношения (2.4.4) — связано с тем, что формально в определении операции T1 величины Ав и Ав имеют разные аргументы, хотя и относятся к одной и той же точке пространства. Если же взять их в разных точках, таких, чтобы координаты одной точки до преобразования совпадали с координатами другой, взятыми после преобразования, то должна иметь место перестановочность сконструированной таким образом новой операции типа дифференциала Ли
ц*Ав^ Ab'(X)-Ab(X) (2.4.5)
и частного дифференцирования. Учитывая инфинитезимальность изменения которое можно записать как
|м- = (2.4.6)
нетрудно придать определению (2.4.5) более удобную для практических расчетов форму (иногда мы будем писать б и б*)
V = Л- (2-4.7)
Теперь, пользуясь равенством (2.4.4), можно просто доказать факт перестановочности т|* и д / дхнезависимо от того, на какую величину будут действовать эти операторы. Интересно, что, пользуясь формой (2.4.3) и определением ковариантного дифференцирования (1.50)
Ав,а = -4в,а “1“ &в I ох * Гта, (2.4.8)
можно представить ч)*Ав в явно тензорной форме:
У\*Ав = CLb I ах * |;Т %>аАВ;а, (2.4.9)
откуда следует, что б*АВ обладает теми же трансформационными свойствами, что и Ab, т. е.
T1 (лМв) = п*Ас-ав\с 11 (2.4.10)
Нётер рассматривала инвариантность интеграла действия; однако если считать, что этот интеграл инвариантен при любом выборе области интегрирования (что естественно, если учесть большую самостоятельную важность понятия действия), то это эквивалентно выбору лагранжиана в виде скалярной плотности. Действительно, скалярный интеграл /L (dx) должен при произвольной области интегрирования содержать в качестве L (dx) псевдоскаляр (аксиальный скаляр), так как сам знак интеграла / при преобразованиях координат преобразуется по закону
[Sj=S=s^S <2-4'Ц>
Qj Q' Q
ввиду перестановки пределов интегрирования при / <С 0. Так как элемент объема преобразуется по закону
(dx') = /• (dx), (2.4.12)
то ввиду псевдоскалярной природы Ь*(<2ж) лагранжиан должен обладать трансформационными свойствами:
34
Ь'{х') = IZh1-L(X), (2.4.13)
т. е. быть скалярной плотностью веса +1* При инфинитезимальных преобразованиях (2.4.1) якобиан равен
/ = I + Iai«, (2.4.14)
и поэтому
nL =-L. ^5I (2.4.15)
Переходя к операции ц*, получаем
H*L + (Lg«)>a = 0 (2.4.16)
— основное соотношение для вывода теоремы Нётер.
Концентрируя свое внимание на вопросе о преобразовании величин (инвариантность действия, свойства скалярной плотности L), мы рассмотрим прежде всего математическую сторону проблемы — вывод соотношений Нётер, не пользуясь пока уравнениями полей, т. е. подходя к L не как к лагранжиану, а как к произвольной скалярной плотности, построенной из потенциалов и их производных:
L = L(4B;^B,a;^B,a,p). (2.4.17)
(Как и в § 2.2, мы включили в L вторые производные Ав.)
Бесконечно малая величина T|*L может быть записана как
