Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Г 6L SL
Aa = I —--------бVAB - —------------6v (аваТтр0)
б АВ} а 9А в, а, р
дЬ
+
+ Г-*!-------Мв; э1 (2.2.9)
L OAB, а, р J
(указанные векторные плотности выделены квадратными скобками). Заметим сразу же, что это правило совершенно бесполезно, когда речь идет р метрическом тензоре как потенциале поля, так как gцУ; а — 0.
Приравнивая теперь бVJ нулю и требуя исчезновения вариаций на границах, мы получаем, вследствие произвольности бVAB внутри области интегрирования,
6L
—- = 0 (2,2.10)
оАв
— уравнения поля, совпадающие с (2.1.14), за исключением последнего члена в (2.2.4), возникшего ввиду зависимости лагранжиана от вторых производных потенциалов. Одновременно мы получаем данные и о трансформационных свойствах этих уравнений; а именно, величина
__L —L - (2.2.11)
у— g ЬАв
преобразуется контравариантным образом по сравнению с потенциалами Ab ввиду свойств (2.2.7), так как SvAb — произвольный «тензор» (имеется в виду критерий тензорных свойств, § 8.1) *.
В некоторых случаях удобнее проводить все вычисления (на каждом этапе) в тензорной форме; тогда вместо L (Ав; АВ} a; ABf а,р) следует взять
1 «Контравариантным образом» — в смысле «вариантности», противоположной Ав. Так, например, если собирательный индекс «В» сводится просто к одному тензорному (векторному) индексу, то ковариантному вектору Avl соответствует свойство величины (2.2.11) преобразоваться по закону коніравариантного вектора; если же Ab—контравариантный вектор (^), то величина (2.2.11) является ковариантным вектором, и т. д.
23
L (Ав; А в; а, А в; а; р) — функцию, отличающуюся от предыдущей лишь перегруппировкой членов, так что
L {Ав] Ав, а\ Abj а, р) — L (AbI As; Ав; а; р).
(2.2.12)
Вообще говоря, мы включаем в число потенциалов (канонических координат) компоненты метрического тензора или другие величины, служащие для свертывания индексов и образования коэффициентов связности при Ковариантном дифференцировании. Если бы эти величины не варьировались, то ковариантная производная коммутировала бы с операцией варьирования, и во всех проделанных выкладках было бы достаточно просто заменить запятые перед соответствующим индексом (частное дифференцирование) на точки с запятой (ковариантное дифференцирование), чтобы перейти к явно тензорной записи. Однако метрика является физическим полем и определяется из динамических соображений, так что варьировать ее необходимо. Ho так как все поля (разные компоненты Abj при разных значениях собирательного индекса «Я») варьируются независимо (как и разные компоненты одного и того же поля!), то, значит, для всех долей, кроме метрического, мы вправе произвести такую замену частных производных на ковариантные (поставив при этом черточку над символом лагранжиана) :
(штрих у индекса «В» означает, что в Ав> не входит или другие метрические конструкции).
К обычному метрическому полю такой подход неприменим, поскольку метрика ковариантно постоянна, и не имеет смысла говорить о «зависимости» лагранжиана от gy.v,a- Однако существует ряд других подходов к гравитации (тетрадный формализм, матричная формулировка, двуметрический формализм, о которых будет идти речь в разделе 8), когда понятие ковариантной производной от величины, лежащей в основе метрических представлений, имеет смысл. Тогда, считая коэффициенты преобразования яв|с|| постоянными1 (что заведомо имеет место для всех тензоров и тензорных плотностей), можно записать
&vABfa = (6уАв),а + ^vA с * Q>B I С I а Гта + AcCIb I С I а 6^ГТа =
— явное свидетельство некоммутативности 'варьирования и ковариантного дифференцирования, когда 6гГ°а ф 0. Так как коэффициент преобразования А в, а равен
Заметим, что б^Га| —истинный тензор, так как закон преобразования
(2.2.13)
=i^vAb) ;а "Ь Ac Сів I С I а 6®Гта
(2.2.14)
(2.2.15)
или
то
Ява, I Се I а = 6а Яд I с I а — бв 6а 6а,
6ї>4в;а;Р = (SvAb) ;а;Р + (AcCLb | С | а б®Гта) ;р + Ас;а CIb | С | а 6^Гтр
(2.2.16)
— А В] а б^Гар*
(2.2.17)
1 Эти коэффициенты входят в состав ав \ I по правилу ав\о—i^caB H о [ср. (8.1.20)
и (2.4.10)1.
24
T8ctflHMeeT вид
/а т дх'а дх® дхе OzX1 Oxf0
Г^М - Г-,*) -J--Hfissii.--, (2.2.18)
а варьирование производится при неизменных (как старых, так и новых в случае преобразования) координатах, так что вариация члена со второй производной старых координат по новым равна нулю, и остается чисто тензорный закон преобразования. Имея в виду, что Svgpiv — также тензор, из определения символов Кристоффеля получаем
б^Гар = —— i&an&fivg0*' gocjidfl 6v g0ji5oc 6v ) (6?;Л . (2.2.19)
и
Подставив выражения (2.2.14), (2.2.17) и (2^.19) в обычное разложение для вариации
- AL SL А дЬ
б Д, = — бVAB + ---бVAB; а + --------бvAB; а; э (2.2.20)
дАв дАв. а дАВ; а; р
и произведя простые преобразования, получим
- Г dL ( дЪ \ ( дЪ \ 1
6®L = —- (-—-----J "M-Tj----------) +
L дАв \ дАв- a I -а \ оАв. a;p /;3;aJ
'+ Y Sv0 + ЕхЛ Av - g^gr**) {[ - ( ^BLa;p );Р ] X
X Асав\с\о + —---------Ас. рав\с\о —----------4в;<Д Su
