Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Представления о поле, разработанные в прошлом веке Фарадеем и Максвеллом, базировались на введении некоторой новой непрерывной среды. Если взять, например, теорию упругости, то можно представить упругое тело как предельный случай множества материальных точек, упруго связанных друг с другом, когда число этих точек неограниченно возрастает (реальная картина, между прочим, соответствует конечному числу таких «точек» — узлов кристаллической решетки — в единице объема). Обратимся, однако, к идеализированному предельному случаю. Теперь пространственные координаты сами по себе ничего не говорят
о состоянии системы, которое описывается уже распределением поля тензора деформаций (краткое и изящное изложение такого перехода дает Лич, 1961). Тензор деформаций является функцией как времени, так и всех трех пространственных координат, взятых в качестве независимых переменных. Итак, в теории упругости роль канонических координат играют компоненты тензора деформаций, а роль прежнего времени — все четыре пространственно-временные координаты нашего мира.
В теории поля картина аналогична механике сплошных сред. Роль канонических координат играют компоненты потенциалов всех полей
Ab = Ab(X). (2.1.10)
Здесь В — собирательный индекс, нумерующий как тензорные, так, возможно, и матричные компоненты потенциалов; при повторении этого индекса (обозначаемого также как C1 D) подразумевается суммирование по всем компонентам потенциалов всех полей, если специально не оговорено противное. Аргументом Ab служат все четыре пространственно-временные координаты. Греческие индексы пробегают значения 0, 1, 2, 3, а латинские — лишь пространственные значения (1, 2, 3).
Число компонент канонических скоростей в теории поля
Ав,а (2.1.11)
в четыре раза превышает число компонент канонических координат А в в отличие от случая механики; указанные величины служат для построения лагранжиана (точнее: плотности функции Лагранжа) системы полей
L = L(Ав; Лв,а). (2.1.12)
Из вариационного принципа для интеграла действия
7=5 L(dx) следуют1 уравнения Эйлера — Лагранжа: dL д 8L
—--------—-----------= 0 (2.1.14)
дАв дх•* дАв, ц
— уравнения полей.
(2.1.13)
1 Некоторые особенности варьирования интеграла действия в общей теории относительности обсуждаются в следующем параграфе.
2* 19
Аналогом канонического импульса (2.1.6) ^ теории поля будет выражение
TVf ULt
ПВа = 1Гл-----> (2-115)
дАв,а
где вновь число компонент превышает число компонент канонических координат Ab (хотя не обязательно в четыре раза, как в случае скоростей, ввиду возможных специальных свойств симметрии канонических импульсов!). При этом в механике уравнения Лагранжа можно записать в форме второго закона Ньютона
дЬ
Pi = ~т~; (2.1.16)
Oqi
аналогичным же образом можно представить и уравнения поля:
пВ“ = ^Г- (2-1Л7)
о А в
Анализ существующей параллели между механикой и теорией поля показывает, что производная по времени переносится в теорию поля в форме «градиента»; однако если она берется от величины, в которую уже вошла при ее определении «производная по времени» [импульс (2.1.6); в теории поля речь идет о дополнительном греческом индексе], то может появиться суммирование по обоим 4-мерным индексам, как, например, в уравнениях (2.1.17). Таким образом, перед нами имеется альтернатива и в определении аналога гамильтониана (плотности функции Гамильто-ла). С одной стороны, если исходить из требования, чтобы гамильтониан при определенных условиях описывал энергию, то его проще всего отождествить с квазитензором энергии-имдульса (см. § 2.4). Для этого мы положим без суммирования по греческим индексам [см. (Мицкевич, 19626)]
рф ++ ПВ«АВ, » (2.1.18)
и в качестве аналога Я (2.1.7) сконструируем
tp“ = IP*АВ, р — L6f»“ (2.1.19)
Действительно, эта величина во многих отношениях аналогична Я, что будет показано в § 2.6. Другой подход к гамильтоновой формулировке теории поля в релятивистски ковариантной форме был предложен позднее (Брежнев, 1964), и использованный в нем «гамильтониан»
H = П *a4B>a-L (2.1.20)
не имеет непосредственного смысла плотности энергии.
В отличие от механики, теория поля не запрещает включения в лагранжиан высших производных потенциалов — обычно вторых производных, причем входящих, как правило, так, чтобы уравнения поля были не выше второго порядка. Именно это характерно для гравитационного поля в его обычном представлении. Поэтому полезно рассмотреть случай зависимости лагранжиана от производных потенциалов любых порядков (Кнапец, 1959). В этом случае канонические импульсы следовало бы записать в виде
Def дЬ д дЬ Def 6L
два =------------------і--------= ,-------, (2.1.21)
дАв, а дх$ дАв, а, э ЬАВ, а
20
а уравнения поля — в виде
U,a~~ дАв' (2.1.22)
2.2. Принцип экстремума действия в общей теории относительности
Запись интеграла действия (2.1.13) предполагает, что мы «знаем» конкретную зависимость подынтегральной функции от хт. е. что заданы: 1) вид лагранжиана как функции канонических координат и скоростей и 2) зависимость канонических координат от хТак как вариационный принцип предшествует выводу уравнений поля, а тем более — решению этих уравнений (нахождению интересующей нас зависимости Ab от х^), то этот интеграл имеет пока символический характер, а его варьирование предполагает сравнение различных задаваемых произвольно наборов функций Ав. При этом постулируется, что тот набор канонических координат, которому соответствует экстремальное значение функционала /, и описывает реальное распределение и эволюцию поля. Таких позиций придерживается классическая (неквантовая) теория поля; в квантовой жэ теории понятие действия оказывается еще более широко применимым. Во-первых, там фундаментальную роль играет квант действия — постоянная Планка; во-вторых, и это главное, в квантовой области (в микромире) реализуются не только те распределения полей в пространстве и те их эволюции во времени, которые приводят к экстремуму действия, но, вообще говоря, и все прочие. Наиболее вероятны те ситуации, которые отвечают экстремальному действию; вероятность же остальных резко убывает при удалении от экстремума (Фейнман, 1955; Рязанов, 1957, 1958). В этом можно усматривать природу вероятнбстных закономерностей в микромире; теория должна приобрести большую стройность и замкнутость в будущем, когда удастся найти адекватный язык для описания явлений микромира вместо языка классической физики, используемого там в настоящее время с некоторыми оговорками и модификациями (введение волновых функций, соотношения неопределенностей и пр.).
