Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Итак, требуется варьировать интеграл действия, приравнять его вариацию нулю и на этом пути получить уравнения поля (2.1.14) или какое-то их обобщение. Напомним, что мы сравниваем при этом всевозможные наборы функций Ав, с тем лишь ограничением, что эти функции в отношении непрерывности и дифференцируемости (вместе со своими производными) должны соответствовать требованиям, которые будут в дальнейшем предъявляться к решениям уравнений поля; иначе говоря, варьирование необходимо осуществлять на том классе функций, которым ограничивается в дальнейшем развиваемая теория (сужение класса функций, во всяком случае, недопустимо). Кроме того, как обычно, рассматриваемые величины на границах области интегрирования не варьируются. В механике такое требование весьма прозрачно: там интегрирование проводится по одной переменной (времени), так что берутся фиксированные положения системы в начальный и конечный моменты эволюции и сравниваются всевозможные «пути», соединяющие эти моменты. В теории ПОЛЯ мы интегрируем по 4-мерной области допустим (мы будем делать это часто), что она имеет вид гиперцилиндра, ограниченного гиперплоскостями (в искривленном мире берутся более общие гиперповерхности). Если ситуации на этих двух пространственно-подобных гиперплоскостях можно с полным правом назвать начальной и конечной (так что их фиксация не вызывает сомнений по аналогии с механикой), то распределение поля на временно-подобной боковой гиперповерхности гиперцилиндра нельзя привести в соответствие с какими-либо механическими представлениями,
21
а отнести эту поверхность в «бесконечность», где нет полей, в общем случае тоже невозможно, если мы собираемся включить в рассмотрение космологические проблемы, касающиеся замкнутых моделей Вселенной (где попросту нет бесконечности, что выясняется, впрочем, апостериори, HO имеет прямое отношение к выбираемому нами классу функций). Ситуация на боковой поверхности гиперцилиндра — это совокупность в разные моменты времени распределений полей на пространственных границах выбранной нами области (здесь следует заметить, что понятие «момент времени» и «область 3-мерного пространства» в искривленном мире далеко не всегда применимы; это обсуждается в § 8.9). Итак, мы считаем, что граничные условия не подвергаются варьированию. Если бы мы распространили интегрирование на весь 4-мерный мир (замкнутый или бесконечный), то можно было бы, по-видимому, обойтись без обсуждения ситуации на этой «боковой поверхности»; но тогда интеграл действия мог бы принять неопределенное значение, а кроме того, мы утратили бы воз можность маневрирования при рассмотрении произвольных 4-мерных областей.
Варьируя
Ab (#) —>- Ab (#) "Ь ^vAb (#), (2.2.1)
мы не изменили ни системы координат, ни точки, от которой зависит А в. Поэтому операция варьирования переставима с частным дифференцированием:
±8v = bv±, (2.2.2)
OXa OXa
а также с операцией интегрирования. Поэтому мы прежде всего запишем вариацию лагранжиана, вызванную вариацией потенциалов (2.2.1):
S15L (*4 В] Ав, а; А в, а, (з) =
6L д / 6L dL \
= —— 8VAB + ~^г~~ ( T“J------------------------------------------------&vAb -&vAb, р j . (2.2.3)
бAb дха \ 6А в, о. ^Ав, а, Э '
Здесь вариационная производная
6L Def dL / діл \ t / 5L
бAb OAi
( ----\ +(_---------------) , (2.2.4)
\ <УАВ> а / , а \ иАВу а, р / , а, P
в силу установившихся традиций, записана в некотором несоответствии с общим правилом (см. § 8.3); второй же символ вариационной производной обозначает
6L Def dh I ^L
____. (2.2.5)
CC дАВ^ а ' дАВ> а, (3 / , р
б A1
Интегрируя теперь вариацию лагранжиана (2.2.3) по 4-мерной области и применяя теорему Гаусса, получаем
С dL
бVJ = j —бvAB(dx) -\-
ол в
+
§ (-TTi- + -Т7-- W (2-2-6)
V 6АВ/а дАв,сс,р /
где интеграл по гиперповерхности, окружающей рассматриваемый 4-объем, следует приравнять нулю. (Так как сюда входит вариация канонических скоростей АВ} р, то требование обращения ее в нуль на границах может
22
сказаться на выборе класса рассматриваемых функций, что здесь, впрочем, несущественно.)
Так как интеграл действия является скаляром, то и его вариация
(2.2.6) — скаляр (инвариант); а так как область интегрирования была выбрана произвольно, то
6L
6VAB — скалярная плотность. (2.2.7)
б А
Если бы теперь вариации не обращались в нуль на границе, то заключение
(2.2.7) сохранило бы свою силу; однако сверх этого мы получим
6L OL
¦ ^vAb + —--------бvABt р = А«, (2.2.8)
бАВ) а 9АВ) а, р
где Aa — истинная векторная плотность. Отметим, что для последнего заключения совершенно необходимо, чтобы лагранжиан был скалярной плотностью [например, аффинная скалярная плотность, отличающаяся от истинной на дивергенцию и приводящая поэтому к тем же уравнениям поля (2.2.10), не дает настоящей векторной плотности в конструкции (2.2.8), как, например, в случае эйнштейновского неинвариантного лагранжиана гравитации]. Векторную плотность Aa можно представить б виде суммы двух векторных плотностей, если воспользоваться сокращенным правилом дифференцирования Ab (8.1.9):
