Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Lg = Iut (0; 0; 0; SVa, а; ?ііл, а, р); (2.4.39)
тогда лагранжиан других полей, включающий также их взаимодействие с метрическим полем, определится как
Lt ^ Li - Lg. (2.4.40)
Мы не могли положить метрическое поле равным нулю, так как, например, метрический тензор в пределе плоского мира равен не нулю, а (1.25). Мы
37
не могли положить его равным и этому значению, так как форма (1.25) нековариантна (она выделяет определенные — декартовы — системы координат; конечно, можно было бы найти выход из положения и на этом пути, а именно, взять вместо вторую метрику двуметрического формализма, см. § 8.5). Отсортировать друг от друга прочие поля в Lf можно, последовательно полагая их потенциалы равными нулю; эту операцию при необходимости легко осуществить, и мы фактически сделаем это в разделе 4. Полагая, что L* — лагранжиан системы физических полей, мы имеем в виду выполнение уравнений поля (2.2.10). Поскольку мы выделили метрическое поле, следует провести такое разделение не только в лагранжиане, но и в уравнениях (2.2.10),
6Lt
= 0, (2.4.41)
8АВ т. е. записать 61?
64 в*
и
= 0 (2.4.42)
6L*
= 0. (2.4.43)
6 ?(аЛ
Однако в силу определений (2.4.39) и (2.4.40) вместо (2.4.42) можно взять
S-=0- (2-4-44*
Впредь в этом разделе мы будем обозначать через L (без индекса) любой (по выбору) из лагранжианов Lt, Lg и Lf, так что все соотношения с L будут справедливы для всей триады.
Взяв любую величину /в, можно записать
6L 6L 6L
-/в = -гг-/*' + "Z--------------------------------------------------/*л. (2.4.45)
6Лв 6 Abi б^цл
Однако первое слагаемое здесь всегда равно нулю [если L = Lто в силу уравнений (2.4.42); если L = Lf,— то в силу (2.4.44), если же L = Lg,— то просто ввиду независимости Lg от Ab#], так что
8L.fB = (2.4.46)
6-4 В 6gnA
(слабое соотношение). Поэтому, например, равенство (2.4.34) принимает вид
6L / 6L IP \
осли под метрическим полем понимать поле метрического тензора (который, конечно, ковариантно постоянен), то мы получим просто
/ 6L |Р\
(-т— CLykv Ij =0. (2.4.48)
\ OgiIV 1 ос /; э
Так как
fljiv I — ?ji«6v^ — ?av6|A^, (2.4.49)
то в этом случае
Тщ р = О, (2.4.50)
38
где использовано обозначение
2 6L
yuv = TrVjX = _ -----------в (2.4.51)
У—? SgVv
Если же лагранжиан зависит лишь от а не от их комбинаций — ^v, 6L
причем TaP =---------а^лі ap, то закон (2.4.50) не выполняется, и следует ис-
6 g»A
пользовать закон (2.4.47). При этом возникают трудности, касающиеся непротиворечивости уравнений гравитационного поля, как мы увидим в следующем разделе. В начале локально геодезической системы координат (т. е локально при «свободном падении» в метрическом поле, когда движение точки наблюдения описывается уравнением геодезической линии) Г*0 = 0, и уравнение (2.4.50) принимает вид дифференциального закона сохранения. Однако следует подчеркнуть, что свободно падающая система — это весьма специальный случай, где важную роль играет принцип эквивалентности в эйнштейновской формулировке. В этом случае действие гравитационного поля исчезает, если рассматриваются законы, не зависящие от вторых производных метрического тензора (от кривизны), и получаемые выводы уже не имеют общей применимости.
Расширим теперь определение тензора Tiiv, а именно, под его плотностью T^av будем понимать величину
Tpa = ав I -f—= айЛ -J-, (2.4.52)
* э оAb P OgiXЛ
эквивалентную (2.4.51), если вместо взять метрический тензор gp,v.
Тогда выражение (2.4.21) для Uaa примет вид
6L dL
Uaa = T Ox + 6aaL — Ав,о — '~г~А--------------ABta}$, (2.4.53)
оABf а ОАВ, a, р
и мы можем записать
Taa = Uaa •+1Oa, (2.4.54)
если ввести обозначение
^aa = — ABto + -----АВ,о,& L6aa. (2.4.55)
MBja OAb^ a, P
Однако справедливо слабое равенство
тГ = о, (2.4.56)
где теперь
1
= -—-g™ Т<Д (2.4.57)
І-g
поскольку выполняются уравнения (2.4.41) и справедливо определение (2.4.52). Поэтому
t,* = —IJfe, (2.4.58)
и сильный закон (2.4.31) приводит к слабому закону
tf<r,a = 0, (2.4.59)
играющему фундаментальную роль в физике.
Очевидно, что в случае лагранжиана (2.1.12), не зависящего от вторых производных потенциалов, определение (2.4.55) величины to® совпадает с определением (2.1.19). Следовательно, эта величина может рассматриваться как аналог гамильтониана в механике, тем более, что действует закон
39
Г 6L
6L
сохранения (2.4.59), соответствующий механическому закону сохранения энергии (2.3.1). Величина taa хорошо известна в частной теории относительности и носит там название канонического тензора энергии-импульса натяжений [см., например, (Ландау и Лифшиц, 1960, стр. 98 и далее)]. Так как в общей теории относительности конструкция (2.4.55) преобразуется уже не по тензорному закону (точный закон преобразования будет выведен в следующем параграфе), то мы будем называть taa каноническим квазитензором энергии-импульса. Тесную связь его с каноническим формализмом подтверждают соображения, высказанные в § 2.1 и 2.6.
