Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
OAn-Ra о А в-, a: T ) \
OAb- Э; a ’ дАВ- <Х; T ’ J ;Х
^v +
ГГ dh ( dh \ 1 дЬ
+ W !Ta--------------(“^-----------) I6^ + Ta-----------------------6Иб;э +
IL дАВ;а \ дА BiOt-, э ' ;Э -* 9А в; Р; а
-=- {geiigwgoa Sv g-іцЬе 6v ) X
La
х(і^7_(м^)іЄ]^“в|с|;+
+ -JL- -- А С; рав I с 11 - fL - Лв; a) } . (2.2.21)
Мв;М дАВ;е-х J Jja
Из условия экстремума действия тогда следуют уравнения поля в виде дЬ ( дЬ \ (SL
dL / dL \ / dL \
дАВ \ дАВ;а);а '&4.В;а;0 /; 0; a
~2 6v Sxn 6a 6v SanSwSa^) X
х{[^_("м^г)1в]^“*|с|’ +
где множитель dg№ / дАв отличен от нуля лишь в том случае, если существует алгебраическая связь между метрическим тензором и (более элементарными) компонентами некоторого потенциала, ответственного за существование метрики. Соотношение (2.2.22) можно непосредственно применять в ряде конкретных случаев (например, при тетрадной формулировке теории гравитации, причем и без отбрасывания членов со вторыми производными тетрад). Проиллюстрируем здесь это соотношение на примере матричного представления гравитационного поля, когда из лагранжиана уже исключен член со вторыми производными. Тогда уравнения поля V-матриц в общерелятивистском обобщении представления Зоммерфельда (§ 8.6) имеют вид
dL / SL \ 1
/ и\л \ Igv є V
( л ) + — (ба 6to gk\i + 6а 6л gwn +
\ • OV т /.R 8
дуа \ ду
аЪ 1 ab; ^
Є V SV
+ 6ц 6u) gkа + 6*х 6я gaа — gkiigcOagr8v —
- Yba [sp ( -)] =0. (2.2.23)
, CD * V
Итак, в общей теории относительности возможен двоякий подход к принципу экстремума действия: 1) нетензорный (используются частные производные), при котором все поля равноправны, в том числе и гравитационное, а уравнения ковариантны как в смысле сохранения пми их формы в любой сиетеме координат, так и в более узком смысле простоты закона преобразования (2.2.11); 2) тензорный (используются ковариант-ные производные), эквивалентный предыдущему, но выделяющий то поле, из производных которого образована связность (метрическое поле или более элементарные поля). От одного подхода к другому можно перейти и более формальным образом, чем это сделано здесь,— достаточно произвести замену переменных в лагранжиане (вместо Ab и АВ} а взять в качестве независимых аргументов лагранжиана Ab и Ав, а) и воспользоваться соответствующими правилами дифференцирования.
Возвращаясь к обсуждению значения принципа экстремума действия, укажем на его универсальность: он лежит в основе всех физических процессов, и если когда-то создается впечатление, что какой-то процесс не укладывается в его рамки, то можно полагать, что просто не были учтены некоторые детали (поля, взаимодействия), и после их учета принцип экстремума действия должен восторжествовать. Этот принцип кладется в основу и приближенных методов вычисления (в частности, метод Галер-кина — Ритца). Можно думать, что вариационные методы вычислений хороши именно тем, что они моделируют принципиальную сторону процессов в природе.
2.3. Законы сохранения: общий анализ1
В этом параграфе мы выясняем в самом общем случае, какие соотношения могут быть названы «законами сохранения», т. е., какой вид должен иметь закон сохранения, если он действует. Мы не будем здесь исследовать «происхождение» законов сохранения и их классификацию — это задача следующего параграфа, для которого в данном случае мы подготавливаем почву. Естественно, что здесь нам приходится принимать законы сохранения как данные.
1 В связи с используемыми здесь операциями интегрирования по многообразиям и
интегральными теоремами см. § 8.2.
26
Вспомним, что в нерелятивистской механике закон сохранения (например, энергии) имеет вид
H = const или H\tl=H\t„ (2.3.1)
где 11 и І2 — некоторые моменты времени. В релятивистской механике со-
хранение энергии образует вместе с сохранением импульса единый 4-мер-яый закон:
ри = const или I Sl = р* IS2, (2.3.2)
где Si и S2 — некоторые моменты собственного времени. Конечно, для того,
чтобы эти законы выполнялись, должны удовлетворяться соответствующие условия, которые, однако, нас пока не интересуют.
Физические поля представляют собой распределенные в пространстве системы. Это значит, что сохраняющиеся величины типа энергии характеризуют сразу целые области пространства, занимаемые полями; таким образом, законы сохранения, аналогичные (2.3.1) или (2.3.2), должны быть интегральными. Роль «момента времени» выполняет теперь простран-ственно-подобная гиперповерхность, фиксирующая «одновременность» взятой нами полевой ситуации во всех областях пространства (мы вернемся к обсуждению тонкостей понимания этой «одновременности» в конце параграфа).
Кроме того, любая величина, характеризующая физическую ситуацию в целой области, а также и во всех частях этой области, если последнюю разбить на части, может быть представлена некоторым образом распределенной в пространстве — в данном случае, на гиперповерхности — величиной
С = 51?. (2.3.3)
Z
Здесь С — рассматриваемая интегральная величина; ia — ее плотность;
