Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
J ?(<**) = 0 (2.3.16)
§
MSa = 0 (2.3.17)
являются следствиями дифференциального закона (2.3.10), постулативно принятого нами. Переходя к направлению нормалей на Si и Ег в одну и ту же сторону (вперед по времени), перепишем соотношение (2.3.17) в виде
J іadSa — J іadSa = — J i*dSa. (2.3.18)
S2 2'
29
Ввиду близости гиперповерхностей Si и S2, левую часть равенства (2.3.18) можно переписать в виде
где 2о — некоторая пространственно-подобная гиперповерхность, средняя между 21 и (считается, что 21 соответствует т, а 2г соответствует т + йт). Заметим теперь, что на боковой гиперповерхности 2', ввиду малости вектора образующей гиперцилиндра nad%, можно принять
где dea$ — элемент 2-мерной поверхности, окружающей 2о (мы будем обозначать полную замкнутую 2-мерную поверхность через 0о). Тогда, в свою очередь, правая часть соотношения (2.3.18) может быть приведена к виду
Можно сказать, что при этих преобразованиях мы воспользовались теоремой о среднем, упрощающейся ввиду бесконечной близости гиперповерхностей 2Х и 22. Сокращая теперь на <2т, имеем вместо (2.3.18) соотношение
Это и есть окончательный вид 4-мерной записи интегрального закона сохранения (и изменения) величины С, определенной через ее плотность равенством (2.3.3), в случае, когда физическая система, вообще говоря, я& является замкнутой (изолированной).
Для сравнения полученного 4-мерного соотношения <с 3-мерным
(2.3.13) заметим, что, взяв в качестве 2о гиперплоскость, нормаль к которой направлена по оси времени (что явно отвечает только специальной теории относительности — поэтому мы будем здесь оперировать лишь с метрикой специальной теорйи относительности), мы получим
т. е. dSo = dV, dSi = 0. Кроме того, в этом случае n$dea$ = daao, причем
т. е. daoo = 0, dOio = dsi (заметим, что вообще doa$ = — de$a)- Тогда
что полностью совпадает с законом (2.3.13).
Мы не излагали в этом параграфе подробностей определения и проведения интегральных операций в 4-мерном мире, так как они здесь весьма аналогичны известным 3-мерным операциям. Более строго сформулированные детали, касающиеся интегральных соотношений, можно найти
Однако определение интегральной сохраняющейся величины С наталкивается на принципиальные трудности. Во-первых, мы производили интегрирование в (2.3.3) по пространственно-подобной гиперповерхности и истолковывали результат как величину, характеризующую распределен-
(2.3.19).
(2.3.20)
(2.3.21),
(2.3.22)
(asa) = (dv, о, о, о),
(2.3.23)
(doao) = (0, efe),
(2.3.24)
(2.3.25)
в § 8.2.
30
ную физическую систему в некоторый момент времени. Хотя 3-мерное пространство и соответствует такой гиперповерхности (сечению 4-мерного мира), определить понятие одновременности в нем можно не всегда. Такая: синхронизация возможна лишь в особых «синхронных системах отсчета» (Арифов), и только в них интегральная величина может толковаться как одновременная характеристика физической системы. Вместе с тем, как заметил недавно Бом, констатация одновременной в разных точках физической ситуации противоречит принципу причинности в его релятивистской форме, особенно если берутся неограниченные 3-области. В самом деле, 4-мерный мир в целом является не более чем наглядной абстракцией, реально же наблюдатель каждый раз находится в некоторой мировой точке и может располагать лишь той информацией, которая содержится внутри светового конуса прошлого с вершиной в этой точке. Ясно, что в этот световой конус может попасть лишь ограниченная часть гиперповерхности одновременности. Бом предлагает поэтому заменить интегралы по пространственно-подобным гиперповерхностям интегралами по световым конусам, вершины которых фиксируют момент времени наблюдения и положение наблюдателя. Подобным же образом предлагается переформулировать задачи типа Коши, что дает существенно иные задачи с данными, определенными на характеристиках. Мы будем, однако, чаще пользоваться старым подходом к интегральным !величинам из соображений наглядности. Во-вторых, мы не касались пока проблемы ковариантного интегрирования. Так как в процессе интегрирования суммируются величины, относящиеся к разным точкам, а тензорные коэффициенты преобразования существенно зависят от точки в искривленном мире, эти коэффициенты не могут быть вынесены за знак интеграла, и интегральная величина не может быть тензорной. Исключение составляет лишь случай скаляра (инвариантность. произведения іadSa). Это обстоятельство связано с неоднозначностью параллельного переноса на конечные расстояния; в частной теории относительности всегда можно (даже в криволинейных координатах) кова-риантнд сформулировать операцию интегрирования, приурочив результат к некоторой опорной точке, в которой условно расположен наблюдатель. Близкий подход был сформулирован в римановом пространстве Рыловым в его теории «относительного гравитационного поля» (развитие двуметри-ческого формализма, см. § 8.5). Ограничиваясь областями, намного меньшими локального значения радиуса кривизны, мы можем обойти эту трудность, так как в исследуемых операциях риманово пространство равноценно псевдоевклидову в таких малых (но макроскопических) областях. Именно здесь просто устанавливается согласие с частной теорией относительности, что должно служить основой для интерпретации и систематизации конкретных сохраняющихся величин.
