Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
2 — гиперповерхность, отвечающая моменту времени, в который мы берем величину С; dSa — элемент этой гиперповерхности, являющийся кова-риантной векторной (точнее: аксиальной векторной) плотностью веса —1 и пропорциональный единичному вектору нормали к гиперповерхности па. Так как берется пространственно-подобная гиперповерхность 2, вектор па обладает свойством
папа = +1. (2.3.4)
Величина ia (мы не предполагаем, что это — вектор, так как оставляем за собой право придавать ей любые новые индексы, кроме а) обладает свойствами плотности (веса +1) ив обычном тензорном смысле.
Если С — величина сохраняющаяся, то для замкнутой системы выполняется соотношение типа (2.3.2):
С\^=С\22 (2.3.5)
или
^ ladSa = ^ iadSa
E1 E2'
Возьмем гиперцилиндр, ограниченный двумя пространственно-подобными основаниями Si и (рис. 2); боковую поверхность гиперцилиндра обозначим через 2'. Отметим, что в соотношении (2.3.6) обе нормали (как к 2i, так и к 2г) были взяты в направлении будущего; если теперь перейти к внешним нормалям нашего гиперцилиндра, то это соотношение перепи-
(2.3.6)
27
шется в виде
^ і*dSa + 5 іadSa == о.
(2.3.7)
Так как рассматриваемая система замкнута (изолирована), a 2' лежит в той области 3-пространства, где эта система «кончается», то в силу условия изолированности все физические характеристики (в том числе іа)
Рис. 2. Область интегрирования в (2.3.16); вместо 3-мерного объема, изображенного в перспективе, слёдует иметь в виду 4-мерный объем
должны обращаться в нуль на S', и интеграл типа (2.3.6), взятый по 2', должен давать нуль. Добавим его к соотношению (2.3.7):
^ iadSa — 0,
-'2!
(2.3.8)
где 2 = 21 + ^2 + 2'. Перейдем, пользуясь теоремой Гаусса для 4-мер-ного случая (совершенно аналогичной этой теореме в 3-мерном мире), к интегралу по 4-объему:
і,а(йя)= 0.
(2.3.9)
Здесь Q — область 4-пространства, заключенная внутри замкнутой гиперповерхности 2, a (dx) = dx°dxidx2dx3.
Приведенное рассуждение еще не доказывает, что ia,a = 0 для сохраняющихся величин, так как Q не есть произвольный объем (мы требовали изоляции системы на границах этого объема). Весь проделанный анализ можно было бы повторить теперь и для незамкнутой системы, введя поток величины С через боковые (фактически уже 2-мерные) поверхности, ограничивающие нашу систему. Мы будем, однако, использовать соотношение (2.3.9) как эвристический трамплин, постулируя теперь, что дифференциальный закон сохранения величины С всегда должен иметь вид
ia,a = 0.
(2.3-10)
Чтобы выяснить, к чему приводит этот закон при интегрировании ш> некоторой физической системе, теперь уже не изолированной, мы проведем рассуждения в обратном порядке. Рассмотрим сначала 3-мерный случай, когда закон (2.3.10) принимает вид
ia,a = і0,о + div і = 0, (2.3.11)
где вектор і имеет компоненты і1, і2, і3. Производя 3-мерное интегрирование, получаем:
(2.3.12*
28
d
dx°
J
где dV — элемент 3-мерного объема, a ds — векторный элемент 2-мерной поверхности, окружающей этот объем и взятой с точки зрения 3-мерной геометрии. Окончательно (если не изменяются границы области интегрирования) можно написать соотношение
5 MV = - § ids (2.3.13)
F S
или, вводя обозначения
PdV = C, § ids = Р, (2.3.14)
F S
— соотношение dC
— = —Р. (2.3.15)
dx° v ;
Интегральный закон (2.3.15) можно истолковать следующим образом: изменение за единицу времени величины С, заключенной в объеме У, численно равно потоку P этой величины (взятому с обратным знаком) через поверхность S, окружающую объем V. Если поток отсутствует (P = 0), то система изолирована и действует закон сохранения в форме (2.3.1). Если поток положителен (какие-то физические агенты «вытекают» наружу — в сторону положительной, внешней нормали 2-мерной поверхности
S, окружающей объем V, унося с собой некоторое количество величины С), то количество С в объеме V уменьшается со временем, и наоборот. Таким образом, с 3-мерной точки зрения і0 следует интерпретировать как плотность С, а і — как 3-вектор плотности потока P величины С.
Примером реализации рассмотренных законов может служить электродинамика: там роль і0 играет плотность заряда р, а роль і — вектор плотности тока j- Рассмотренный подход весьма характерен для специальной теории относительности, и в этом случае все величины, входящие в наши соотношения, обладают правильными тензорными размерностями (в общей теории относительности сюда войдут уже аффинные тензоры).
Перейдем к 4-мерной трактовке законов сохранения. Такая трактовка, как и 3-мерная, не во всех случаях полностью соответствует духу общей теории относительности, как мы увидим вскоре при обсуждении трудностей формулировки интегральных законов сохранения.
Если мы хотим получить ковариантный аналог производной d / dx° в интегральном смысле, то необходимо приблизить друг к другу основания гиперцилиндра (см. рис. 2) так, чтобы в пределе обе пространственноподобные гиперповерхности Si и совпали. Обозначим различие во «времени» (инвариантном!) между этими гиперповерхностями через dx. Тогда высота гиперцилиндра (вдоль его образующей) изображается вектором nadx. Очевидно,
