Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Отождествление величин, выступающих в теореме Нётер, с физическими величинами, известными из механики (энергия, импульс, момент импульса) , равносильно систематизации этих величин. Такая систематизация базируется: 1) на аналогии с частной теорией относительности, где эти величины уже введены в теории поля [см. (Иваненко и Соколов, 1952); (Ландау и Лифшиц, 1960); (Боголюбов и Ширков, 1957)]; 2) на тех конкретных преобразованиях, которым эти величины соответствуют в теореме Нётер в пределе частной теории относительности (трансляции, повороты и пр.); 3) на «ранге» этих, хотя и не тензорных, величин (число свободных индексов), когда двухиндексные величины считаются относящимися к энергии-импульсу, трехиндексные — к моменту.
Весьма характерно то преимущество, которое имеет закон сохранения taa (слабый) перед законом сохранения Uaa (сильным). Если закон сохранения (2.4.59) выполняется лишь для полной системы полей (t* строится с помощью Lf) и содержит, таким образом, возможность обмена энергией и импульсом между разными полями (в частности, сюда входит и метрическое поле, равноправное, таким образом, с другими физическими полями!), то, напротив, закон (2.4.31), будучи сильным, выполняется для каждого поля в отдельности (для Lg, Lf, а также при дальнейшем разбиении Lf на отдельные поля, лишь бы лагранжиан каждого из них был инвариантен!). Таким образом, сильный закон изолирует все физические поля друг от друга и не отражает никаких процессов обмена энергией и импульсом (а в прочих случаях — и другими величинами) между этими полями, т. е. сильный закон никогда не может описывать физических взаимодействий. Поэтому мы отдаем предпочтение слабым законам, органически связанным с динамикой (уравнениями) полей. Эту сторону слабых законов часто недооценивают.
Согласно § 2.3, квазитензору taa соответствует сохраняющаяся величина
z
принимающая в частной теории относительности в декартовых координатах вид
которую называют 4-вектором энергии-импульеа физической системы (мы увидим, что это, конечно, не общековариантный вектор). Плотность потока анергии-импульса, согласно (2.3.22), равна
(антисимметризация проведена ввиду антисимметрии элемента daap); в трехмерной форме, употребляемой в частной теории относительности:
(2.4.60)
о
(2.4.61)
V
ЯаР= ^r- (tаапЪ — tа$Па)
(2.4.62)
JlCTi = V
[CM. (2.3.14)].
(2.4.63)
40
Тензор Tlkv (2.4.57) называют метрическим тензором энергии-импульса (это — истинный тензор). Его называют также симметричным тензором энергии-импульса, поскольку в случае обычных классических полей их лагранжианы зависят непосредственно от g(а не от #цл), так что выполняется равенство (2.4.51). [В противном случае этот тензор не обязательно* симметричен:, что влечет за собой трудности при введении эйнштейновского гравитационного поля, так же, как и уже упоминавшееся невыполнение в этом случае закона (2.4.50); к обсуждению этой проблемы мы вернемся позднее]. Величина Ua06, дополняющая согласно (2.4.54)- канонический квазитензор до метрического тензора энергии-импульса, называется спиновой долей энергии-импульса, так как она тесно связана с понятием спина физических полей, к обсуждению которого мы теперь переходим.
Мы будем пользоваться теперь четверкой координат х» как радиус-«вектором», хотя закон преобразования здесь явно не векторный (даже в частной теории относительности х»* преобразуется при трансляциях не как свободный вектор, который, очевидно, при таких преобразованиях не изменяется) . Главное для нас свойство х** выражается соотношением
где P — любая величина (имеющая, вообще говоря, любые индексы в дополнение к написанному здесь). Если взять в качестве P спиновую долю энергии-импульса ?7<Д то в силу (2.4.31) получим
(величина N^va симметрична по последним двум верхним индексам). Поэтому существует сильный закон
(2.4.64}
благодаря которому имеем (*“/*), р = Za + р,
(2.4.65)
(tfW), P = Uaa,
(2.4.66)
откуда на основании (2.4.26) следует сильный закон сохранения
(*»ивр + м5в),р = о.
(2.4.67)'
Взяв теперь в качестве /р величину
(2.4.68)
получим
(2.4.69)
Ho ввиду соотношения (2.4.26) имеем
(2.4.70)
а при учете (2.4.27) —
(2.4.71)
(2.4.72)
где
(2.4.73)
Мы получили, таким образом, два новых сильных закона сохранения. Рассмотрим первый из них:
Pa /ч /О / П / \
Ему соответствует слабый закон
lfaap = 0 (2.4.75)
для величины
С мГ, (2.4.76)
где характерно умножение канонического квазитензора taP на радиус-«вектор» ха. Подобное же произведение (но с последующей антисимметризацией) фигурирует и в частнорелятивистском определении плотности момента импульса [см., например (Ландау и Лифшиц, 1960), формула
(32.7)]. Поэтому мы назовем Цл квазитензором обобщенного момента. Сильному закону (2.4.72) соответствует слабый закон
ЬЙ = 0 (2.4.77)
для величины
ьГ = tafixvx« - Mpxa - _ 2n?v“ , (2.4.78)
которую мы назовем, по аналогии с I^a, квазитензором бимомента. Продолжая рассуждения, использованные при выводе соотношений (2.4.64) —
