Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
OL OL дЬ
rfL = rj- ц*Ав + —— T1Mb,. + —--------------лМваэ. (2.4.18)
оAb о Ab^ о Ab^
Благодаря перестановочности rf и д / дж®, можно воспользоваться равенством (2.2.3), заменив в нем б на Tf:
6L / 6L dL • \
У]*Ь(Ав;АВ}а)АВа^)=г-—Tl*^в+( ~ ) •
ОЛв А ОАB,a CfA в,a,P / ,а
(2.4.19)
Заметим, что оба слагаемые в (2.4.16), как и в (2.4.19),— скалярные плотности.
Если теперь учесть соотношения (2.4.3) и (2.4.7), то подстановка выражения (2.4.19) в (2.4.16) после простых преобразований дает
+ [и„*6» + МГ|” + ICsJd. = 0. (2.4.20)
Здесь введены следующие обозначения:
,г 6L 6L дЬ
IV* = L6o“ + JT-ав а“ - .Abiа - —------Ab^, (2.4.21)
0-4 в 0^4 В,а о А в, a,р
, ост 6L OL діл X
Ma = -_ав в*- —--------------Ав,а + —---------«в а.р, (2.4.22)
б ABja оАВр,х оАв^ а? P
атр 1 Г dL . , OL , п
° —~пГ\ авUt~ял йв а . (2.4.23)
2 L дАща?р дАв,а,% 1J v 1
Полученное условие инвариантности лагранжиана (мы будем так говорить вместо «свойство скалярной плотности лагранжиана») (2.4.20) явно включает инфинитезимальный вектор который следует теперь исключить, так как лагранжиан должен быть инвариантным относительно всех
3* 35*
преобразований (2.4.1) с трижды дифференцируемым бесконечно малым вектором Ija. Произвольность этого вектора означает, что в качестве
?,06,Э и ?,а,Р/у берутся Любые веЛИЧИНЫ, С ТЄМ ЛИШЬ уСЛОВИвМ, Чтобы
последние две из них были симметричными по своим нижним индексам *.
Для исключения Iм- продифференцируем явно выражение, стоящее под знаком дивергенции в (2.4.20). Комбинируя полученные слагаемые, находим:
Ввиду произвольности Iм- и его производных, заключаем отсюда, что
Здесь фигурные скобки означают симметризацию по всем индексам, кото-
Поэтому, если подставить выражение (2.4.21) в соотношение (2.4.25) и учесть (2.4.30), легко увидеть, что указанное соотношение выполняется тождественно — независимо от того, будет L скалярной плотностью или нет. Остальные соотношения (2.4.26) — (2.4.28) выполняются лишь в том случае, когда L является действительно скалярной плотностью; это и есть искомые соотношения Нётер — записанные в явном виде условия инвариантности лагранжиана (интеграла действия).
Из соотношений Нётер (2.4.26) — (2.4.28) следует важное равенство
имеющее вид дифференциального закона сохранения. Это — сильный закон сохранения, и поэтому он не может сам играть важной роли в теории, но из него следуют фундаментальные слабые законы сохранения. На основании тождеств (2.4.25) соотношение (2.4.31) можно записать в виде
1 Связь между этими величинами через частное дифференцирование здесь несущест ненна, так как фактически все рассмотрения производятся локально, в точке.
(2.4.24)
(2.4.25)
(2.4.26)
(2.4.27)
(2.4.28)
рые стоят в этих скобках; ввиду симметрии N(N^tP
а?т
= N0 ) здесь
можно записать
КГР> - + Njotp + Nfa ] = 0.
О і
(2.4.29)
Заметим однако, что
(2.4.30)
(2.4.31)
(2.4.32)
Имея В ВИДУ, ЧТО величина ~-ав\а является тензорной плотностью і SAb
второго ранга (веса +1), т. е.
6L і Э \ Г 6L |т
/ 6L |р\ f 6L Г *0
HMiHJ=LsriLe"-
(2.4.33)
6L IP т 6L
¦ 0>в I ба r~j ®в
Р Л*
Oo
8-4 в 'а 6-4в
мы можем записать равенство (2.4.32) в явно тензорной форме:
6L , , / 6L іЭ\
Это — снова «сильное» равенство, так как оно вытекает только из инвариантности L и не зависит от выполнения уравнений поля (не зависит от того, считаем ли мы L лагранжианом или нет).
Чисто математическое содержание теоремы Нётер этим исчерпщвается; теперь необходимо дать физическое истолкование полученных соотношений. Прежде всего мы интерпретируем L как лагранжиан полей; однако так как физические характеристики (например, энергия) могут распределяться между разными полями (с точностью до энергии взаимодействия этих полей), то полезно сначала обсудить вопрос о разделении лагранжиана на лагранжианы отдельных полей и лагранжианы взаимодействия этих полей друг с другом. Как мы делали это в уравнениях (2.2.13), можно разделить метрическое поле и другие поля, обозначая через Ав» потенциалы всех полей, кроме метрического. Тогда лагранжиан полной системы полей (Li) можно записать как
-L^ (А.в, А.В} ot, A.Bf а, р)
= Lt(ABt] ABtt«; Ав*} а, р; &ідл; S1IiAja; ёрл.а, р). (2.4.35)
Из соображений общности мы взяли в качестве метрического поля не метрический тензор giiv, а некоторый другой объект gpа (с одним собирательным греческим индексом Л), из которого строится некоторым образом и поле метрического тензора:
g\iA'gyA = guv. (2.4.36)
В частности, это метрическое поле может быть полем тетрад
Snia); SVa Svia)» (2.4.37)
или полем матриц Дирака в представлении Зоммельфелъда
I 1
gvA-+ — Ynabl — УчЪа (2.4.38)
(малые латинские буквы в индексах обозначают в первом случае номер тетрадного вектора, а во втором — обычные матричные индексы); ср. эти обозначения с формулами (1.29) и (1.31). «Чистый» лагранжиан метрического поля следует тогда определить, положив в (2.4.35) потенциалы остальных полей равными нулю:
