Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
(2.4.73), легко получить законы сохранения для высших моментов любых рангов, так что в этом смысле и канонический квазитензор tap может быть назван моментом (порядка 0). Существенно, что если при введении квазитензоров обобщенного момента и бимомента каждый раз в игру входили новые величины, кроме taa (сначала M^a , а затем Ngav), то высшие моменты содержат лишь старый «строительный материал», не обнаруживая ,в своей структуре ничего нового, пока мы ограничиваемся лагранжианом (2.4.17), содержащим производные потенциалов полей лишь до второго порядка включительно. Случай более общего лагранжиана рассмотрел Кнапец (1959, I960).
Чтобы лучше понять физический смысл квазитензора обобщенного момента, полезно перейти на время к частной теории относительности — по крайней мере, взяв не произвольные преобразования' координат, а только повороты (линейные ортогональные преобразования). Для них
In = CDnvZv (2.4.79)
и
(Ojxv = —'(Ovp, = Const. (2.4.80)
Подставляя такой вектор в соотношение (2.4.20) и учитывая уравнения поля (2.4.41), а также соотношение (2.4.58), мы получаем
l&g°w - M?J (g°W), Д а со JXv = 0 (2.4.81)
или, ввиду произвольности (Ojxv во всем, кроме свойств симметрии (2.4.80),— закон сохранения
тГ: - 0. (2.4.82)
где
InaIiv = taagatlxv — WgavXi1 + МГ (g^art* — g°»xv), t. (2.4.83)
Первая часть ma^v сразу же отождествляется с обычной плотностью тензора момента импульса — с плотностью так называемого орбитального момента. Вторая же часть, содержащая M *т, должна иметь смысл плотности спина, потому что, как известно, сохраняется лишь полный момент — орбитальный плюс спиновый. Это утверждение часто ассоциируется с квантовой теорией, но на самом деле оно характерно уже для классической теории поля в рамках частной теории относительности, так как и квантовый
*42
спин всегда получают при вторичном квантовании путем подстановки операторов порождения и уничтожения в классический интегральный спин.
Таким образом, появление спинового момента в общей теории относительности не влечет за собой никаких противоречий, а его структура полностью соответствует тому, что дает частная теория относительности, так что между обеими теориями существует полная преемственность. Для нас существенно, что в общей теории относительности закон сохранения момента может быть записан не только в привычной антисимметричной форме (2.4.82), которая точно реализуется и здесь, но он может быть записан также более простым способом (2.4.75)? при этом уравнение (2.4.82) является следствием (2.4.75). Оба закона, естественно, являются слабыми. Что же касается закона сохранения бимомента, включающего плотность биспина, то он был неизвестен ранее, и плодотворность его введения зависит от существования биспина (присутствия в лагранжиане вторых производных потенциалов). Если при интерпретации закона сохранения бимомента опираться на преобразования, аналогичные (2.4.79), но квадратичные по X^t [тогда приходится отказаться от ортогональности этих преобразований, и поэтому ясно, что они не могли рассматриваться в традиционной частной теории относительности, хотя и появляются в формулировке Фока (1961)], то мы должны связать бимомент с ускоренными движениями и искажениями масштабов, тогда как обычный момент был связан с поворотами.
Резюмируя, можно сказать, что в общей теории относительности теорема Нётер дает слабые (физически полноценные) законы сохранения
v = 0; (энергия-импульс)
v = 0; (обобщенный момент)
mta»\a = 0, (обычный момент)
которые выполняются точно в любой системе отсчета и являются поэтому общековариантными (хотя и не тензорными) законами сохранения. Кроме того, с помощью метрического тензора энергии-импульса можно построить соотношения, близкие к законам сохранения (в том числе момента), принимающие, однако, вид этих законов лишь в начале локально геодезической системы координат. Стремление пользоваться симметричной величиной в качестве плотности энергии-импульса берет начало с раннего этапа развития теории поля, когда понятие спина было еще неизвестно, и считалось, что для выгаода сохранения момента импульса необходимо конструировать этот момент из симметричного тензора и х**1. После открытия спина и выяснения его фундаментального значения в физике полей и частиц тензор энергии-импульса продолжали симметризо-вать по традиции, что не приводило к ошибкам, так как можно показать, что в частной теории относительности различие между симметричной и канонической величинами сводится к дивергенции. Поэтому в обоих случаях интегральные значения сохраняющихся величин для изолированных систем будут равны, хотя локализация определенной таким образом энергии и импульса уже в частной теории относительности различна. Мы считаем, что явный учет спина в общей теории относительности дает важные преимущества, будучи весьма специфическим моментом в теории поля по сравнению с механикой.
Рассмотрим теперь сочетание операции ковариантного интегрирования с помощью ^-матриц с методом хронометрических инвариантов (см. конец предыдущего параграфа). Возьмем слабый вариант уравнения Нётер (2.4.20), когда первая скобка равна нулю. Тогда, учитывая сильные
