Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
Перечень граничных задач для 'волновых функций будет неполным, если мы не упомянем здесь дифференциальный аналог уравнений (3.116), в которых кулонбв-ский потенциал полностью включен в «иевозмущенный» гамильтониан:
[- Ах + 2 |^|. + М*«) - Фа(Х) -
--М*«) 2 Фр(Х). (5.184)
Пользуясь полученными выше результатами, можно показать, что если все частицы в системе заряжены одноименно, па>0 (а=1, 2, 3), то эти уравнения имеют единственные решения в классе ВЕ. При этом волновые функции Х?В(Х1 рв) совпадают с суммами компонент по всем а. Аналогично можно определить и волновые функции Р).
Если же в системе имеются разноименно заряя^енные частицы, то асимптотика компонент Фа становится даже сложнее, чем асимптотика волновой функции, и система уравнений (5.184) уже не имеет тех достоинств, на которые мы указывали выше.
В конце этого параграфа мы коротко опишем граничные задачи для системы N заряженных частиц.
N заряженных частиц. Предположим, что парные потенциалы взаимодействия уа]У__1(^а]У_1) можно представить 19*
292 ГЛ. V. СИСТЕМЫ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
где 'Ra(z) = (Яa — z)~~\ а компоненты Ка2в2(2) определяются соотношениями (4.87) и (4.88), в которых В.о(я) следует заменить на Ка(^), а ^ам^г— на Уа]У_1- Аналогично случаю нейтральных частиц, можно показать, что компоненты резольвенты &а2в подчиняются модифици-
в виде суммы кулоновской и короткодействующей частей:
VaN-l iXaN-l) ^ naN~L | X*N-l [ 1 + V"N-i {XaN-l)*
Пусть ?2aiY-1 (a, v) —область конфигурационного пространства, Где ВЫПОЛПенО уСЛОВИе l^a^^ &(1 + |#ajV-i|)V,
О < v < 1/2. Введем в рассмотрение гладкую финитную функцию x«;v_i(^0i равную единице вй^^а, v) и нулю вне Qa^fa, V), v<v'<l/2.
Чтобы получить компактные уравнения, разобьем, аналогично (5.104), парные потенциалы на сумму короткодействующей и дальнодействующей частей с помощью
ФУНКЦИИ JC^-l
где
I aiV-l| 1
<-1W = ,-?bl1(i-x0N_1W).
I aiV-l| 1
Согласно этому разбиению представим оператор энергии N заряженных частиц в виде
Н = На + 2 ?aw_x,
aiV—1
где «асимптотический» гамильтониан На определяется равенством
I г _ т г I V v(0)
aN-l
Пусть, далее, ЫЫ — резольвента оператора энергии Н. Можно показать, что для ЫЫ справедливо представление
§ 6. граничные задачи для волновых функций 293
рованным компактным уравнениям в дифференциальной форме, которые получаются из (4.97) заменой оператора кинетической энергии Н0 на На и VaiY_x на VaN_v Модифицированные интегральные уравнения для Ra2b2 получаются из (3.103) при к = 2 заменой R0(z) па Ra(z) и Ма3с3 на модифицированные компоненты Ма3с3- При этом последние определяются формулами (3.97) и (3.98), в ко-торых VaiV_1 нужно заменить на VOJV_1, а R0(z) — на Ra{z).
Коротко опишем асимптотические граничные условия в случае систем заряженных частиц. Компоненты волновых функций, отвечающих двухкластерным каналам, можно представить в виде суммы (4.105), в которой плоские и сферические волны искажаются кулоновскими множителями. Последние могут быть найдены с помощью приближения эйконалов. В результате плоская волна в (4.105) приобретает множитель
f. V У^И-сос/ Я(оЧ(х)' 1 /. м | / \ч
еХР 1 Z- 2\р ,1 1П(Кй'||^о'|-(РшшмУаИ'))
(0,(0' 1^(0(0 |
v (0^=0)'
(5.185)
где q«>— Суммарный заряд частиц подсистемы со, входящей в разбиение^*, у^,— приведенная относительная координата подсистем со и со', ра(д,—сопряженный ей импульс, а р^, —приведенная масса подсистем со, со'. Сферические волны искажаются множителем
A 2ЪгЕ + к\ |W|
Мы оставляем в стороне вопросы, связанные с задачей об описаниях асимптотики в особых областях, где фазы (5.185) обращаются в бесконечность. В общем случае эта задача до сих пор не решена. Отметим лишь, что если ограничиваться только двухкластерными столкновениями, то такие асимптотики легко найти. Они имеют вид произведения собственных функций кластеров на кулоновские волновые функции (5.1), которые отвечают эффективному кулоновскому взаимодействию между кластерами. Мы подробно описали такие асимптотики на примере трех частиц.
Глава VI
ВОПРОСЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБОСНОВАНИЯ ЗАДАЧИ РАССЕЯНИЯ
Эта глава посвящена обоснованию гипотезы о полноте волновых операторов. Мы проведем рассуждения на примере систем двух и трех частиц. Опишем сначала методы, применяемые для исследования непрерывного спектра оператора энергии в стационарном формализме. В этой части результаты данной главы пересекаются с результатами, главы II, где мы действовали в рамках нестационарного подхода. Наряду с этими вопрбсами продолжим здесь исследование кулоновской задачи — вычислим ядра оператора рассеяния для заряженных частиц и опишем их свойства. В конце главы мы проверим, что ядра волновых операторов, полученные на основе стационарного формализма, совпадают с ядрами нестационарных волновых операторов (1.22) или (1.25) в зависимости от характера парных взаимодействий.
§ 1. Система двух частиц
Мы начнем с исследования системы двух частиц. На этом примере мы проиллюстрируем основные методы решения задач, указанных выше, и затем обобщим эти методы на систему трех ччастиц.
