Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Меркурьев С.П. -> "Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц" -> 82

Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.

Меркурьев С.П., Фаддеев Л.Д. Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц — М.: Наука, 1985 . — 400 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantteordlyasisneschas1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 76 77 78 79 80 81 < 82 > 83 84 85 86 87 88 .. 118 >> Следующая

К1>(М*«) + ЬЫГ'г и' > —1/2. (5.159)
Если эти условия выполнены, то функция Уа8(Х, X', ?) 18*
276 ГЛ. V. СИСТЕМЫ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
, , . , e|r/|-
убывает, как произвольная степень \X — X'\~N при IX — Отметим, что условия такого типа уже
встречались, когда мы описывали границы -применимости эйкональных формул (5.14) и (5.42) для функций Грина r0(z, х\ z) и RN(X, X', я).
Для построения асимптотической резольвенты в особых областях следовало бы применить метод эталонного уравнения. Однако, чтобы не повторять уже знакомые рассуждения, мы воспользуемся тем фактом, что нам известны асимптотические волновые функции 4/as(X, Р), и зададим асимптотическую функцию Грина с помощью приближенного спектрального интеграла, аналогичного представлению (5.39):
Gaa(X, X,z) = ^-e)dP Хо(Р , z)-pj—-.
(5.160)
Здесь через %c(P',z) обозначена гладкая срезающая функция, равная единице в окрестности точки Р'2 = Re z и гладко исчезающая на некотором расстоянии от этой точки. Асимптотика этого интеграла может быть вычислена по схеме, использованной при доказательстве формул (4.119). Сначала нужно проинтегрировать по угловым переменным и применить метод стационарной фазы, а затем вычислить оставшийся интеграл по радиальной переменной с помощью теоремы о вычетах. Так, при z = E+iO можно получить представление (5.157),в котором ядро GM задается интегралом
Gas(X, X', Е + iO) =
-—г(4-Гвхр{-11^6"'-
_ У iVEna In lim f dq exp {.
- 2t V~Eq* - 2iE1/%1&, (q, Mxx,)\ WF (g, M), (5.161)
где
q = VIM, ?eR8,
Mxi'= X(X,X- X') + X' (i', X' - X),
ixx>=\X I + \X'\-\X-X'\X Ux>=\X\ + \X'\ + \X-X'\.
§ 5. КОМПАКТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
277
Рассмотрим, наконец, случай, когда разность IX — Х'| может оставаться ограниченной. Мы предположим, что выполняется неравенство IX — X'l^(IXI + IX'l)v, v < 1/6.
Пусть точки X и X' расположены в области Q0. Раз-
V па
лояшм потенциал взаимодействия АПГ~\ в РЯД по ма~ X_хг
лому параметру | ^ |-f-|XT ^таРш™ член этого разложения представляет собой кулоновский потенциал в R6 д01Х|-1, где эффективный заряд задается равенством
В соответствии с этим мы положим Gas(X, X', z) равным модельной функции Грина (5.40) для такого потенциала:
Gas(X, X', z)=R3(X, X', z).
Если точки X и X' расположены в ?2«, то старшие асимптотические члены потенциала определяются равенством (5.125). Поэтому для X, X' из Qa мы возьмем в качестве модельной функции Грина ядро R^(X^X\z) резольвенты оператора Над\ определенного равенством (5.125).
Итак, мы описали функцию Ga8 во всей области определения. По построению это ядро удовлетворяет условиям, которые мы перечислили выше, и, следовательно, может быть взято в качестве асимптотической функции Грина для оператора Ra(z). Отметим, что, также по построению, справедлива асимптотическая формула, аналогичная* (4.79):
Gas (X, Х',Е+Ю) ~ %(X, Р') X
х "М-УЁт+^ЗД (5162)
где Р'=—1/ЕХ' и Чга8(Х, Р') — приближенная волновая функция, описанная в § 3.
Функция Грина оператора На. Аналогичный метод, основанный на уравнении теории возмущений с приближенной функцией Грина, может быть использован для исследования резольвенты RaU). Прежде чем приступить к построению приближенной функции Грина, рассмотрим
278 гл- V. СИСТЕМЫ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
ряд функций, которые затем будем использовать для ее описания. Пусть G(a1} (X, X', z) — функция, задаваемая интегралом
G*a (X, X', z) - l dy'LRa. (X, Х\ z) Ra (X", X', z), (5.163)
где полагается х"а = 0. По определению эта функция подчиняется уравнению Шредингера (5.45), если переменные 1иХ' лежат в области Q0. Рассмотрим асимптотику этой функции при 1X1 оо или IX7,! ->¦ °°. Согласно (5.157) старший член асимптотики порождается критической точкой экспоненты exp Ul/z(\X — X" I + IX" —ХМ)} при дополнительном условии #а = 0. В базисе, отвечающем па-
у(о) (п \ Х'Л У<* ~~ I х<* I У'<* \
ре а, эта точка дается равенством А =iu,J-!-т-т\— >.
I ы + ы J
Показатель экспоненты равен в этой точке однократному эйконалу Za(X, X'). В результате приходим к выводу, что функция Ga'(X, X', z) тесло связана с эйкональным приближением, отвечающим эйконалу Za(X, X'):
(X, X', z) ~ cz exp {i /5 Za (X, X')} o?> (X, X', z),
(5.164)
где, как и выше, мы обозначаем через Сг величину С г =--гг ?iJT/4 (2я)~6/2 z3/4. Это обозначение мы будем использовать и далее.
Если точки X, Х(0) и X7 не лежат в особых областях, которые определяются условиями (5.158), (5.159), ад функция Ga) (X, Х\ z) задается эйкональными формулами
ф<!,Г,4-Ы+№^т?*-Т-*\ (5.165)
Фаза TFaa равна сумме эйкональных фаз, которые входят в асимптотику функций 6?а8:
Waa(X, X', Z) - Wa8(X, Х(°\ Z) + W„iXW, Г, i).
Отметим, что, аналогично представлению (5.86'), в этой формуле можно отделить фазу Waaj зависящую от эйконалыюй переменной Za, и слагаемое oWaa, которое является функцией лишь точки Маа на трансверсальной
§ 5. КОМПАКТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 2?9
поверхности Ъъ — сопб1:
Мы = X - (X, ЮКа, , Ка -ух2а(Х, X').
Если X е= й0, то фаза ТУаа может быть представлена в следующем виде:
р V2VI
Предыдущая << 1 .. 76 77 78 79 80 81 < 82 > 83 84 85 86 87 88 .. 118 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed