Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Меркурьев С.П. -> "Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц" -> 90

Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.

Меркурьев С.П., Фаддеев Л.Д. Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц — М.: Наука, 1985 . — 400 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantteordlyasisneschas1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 84 85 86 87 88 89 < 90 > 91 92 93 94 95 96 .. 118 >> Следующая

§ 2. Непрерывный спектр оператора энергии системы трех тел
В этом параграфе мы приведем обоснование гипотезы о полноте волновых операторов для системы трех частиц. Мы будем рассматривать здесь как нейтральные, так и заряженные частицы..
^ (ху к)
ехр {— Е \ х\ — ^и?
К и)
ехр {іУЕ\х\ + іш0 (х)}
(6.16)
302 ГЛ. VI. ВОПРОСЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБОСНОВАНИЯ
Напомним ряд понятий, которые мы ввели в главе II, применительно к задаче трех тел. Пространство каналов ? в данном случае равно ортогональной сумме
•б = ?0Ф 2 0?а,
где. трехчастичный канал совпадает с гильбертовым пространством ?2(П6), а двухчастичные каналы фА, -4=^0,— с гильбертовыми пространствами ?2(К3).
Гамильтониан каналов Н является приводимым в $ операторам
Н=Но0 2 0НА,
а^о
где действие операторов энергии в каналах задается формулами
Н0/о(Р)=Р2/о(Р),
На/а (Ра) = ЕА (ра) /А (ра), Яа (Ра) = Ра — *а, Л = (а, 0, а =* 1, 2, 3; I = 1, 2, ..., #а.
Пусть Ра — проектор в $ на собственное подпространство и фс — ортогональное дополнение в ф к «б ^ 5с ф 5(1. Обозначим через Нс инвариантную часть Н в фс.
В настоящем параграфе мы докажем следующее утверждение.
Предложение 6.4. Операторы Лс и Й унитарно эквивалентны, так что существует изометрический опе-ратор \] из § в § такой, что выполняются соотношения
и*и = 1, ии* = 1-Рй, Ни = иЙ. (6.*7)
Система трех нейтральрых частиц. Начнем доказательство этого утверждения с более простого случая нейтральных частиц. Мы покажем, что в качестве оператора и в предложении 6.4 можно взять оператор и(±), действие которого описывается в терминах волновых операторов -равенством
и/ = 2иА/А, / = (6.18)
а
Л = 0, « = 1,2,3; I = 1, 2, ..., ЛГа,
где- суммирование ведется по всем каналам А и /А — элементы $А.
§ 2. СИСТЕМА ТРЕХ ЧАСТИЦ
303
Доказательство изометричности и сплетающего свойства мы проведем с помощью тождества Гильберта аналогично тому, как это было сделано в системе двух тел. При этом наряду с тождеством Гильберта для Г-матрицы TU*) - T(z2) = (z2 - z1)T(z1)R0(z1)R0(z2)T(z2) нам понадобится также тождество Гильберта для компонент M«p(z):
Ma? (*i) — Ma? (Z2) =
= (*2 - *l) 2 MaV (*i) R0 Ro fe) Mv,? (z2). (6.19)
7,7'
Вычисление выражений UaUb при -4=5 = 0 может быть проведено с помощью тождества Гильберта для Г-матрицы. Соответствующие формулы отличаются от двухчастичных лишь размерностью переменных интегрирования. Поэтому мы опустим рассуждения, дословно совпадающие с проведенными выше. При этом следует подчеркнуть, что существование многочисленных трех-частичных особенностей не отражается на конечном результате: U*U0 = I, HU0 =|UeH0. Это объясняется тем обстоятельством, что последние определены как обобщенные функции, непрерывно зависящие от параметра 2 = =*Е + ie при изменении z вплоть до вещественной оси.
Проверим далее аналогичные равенства для операторов
UaUb = SabIa.
С этой целью заметим сначала, что операторы TTA(z), определенные равенствами (3.65), подчиняются тождествам
2 2 Т7*а (Zi) R0 (2Х) R0 (га) Тув (z2) =
a,? 7,7'
- (*2 ~ *1Г^2 (Zl) R0 (z2) LB (Hb - z2) -
- 2 (HA - Zl) LlR0 (Zl) TaB (*,)j. (6.20)
Действительно, немедленно- придем к этому соотношению, если умножим тождество Гильберта (6.19) для
компонент Ma? слева на оператор L»aR0(2i), а справа — на оператор R0(z2)LB и воспользуемся равенствами (3.65).
Полагая zt = pa — к а — Щ и z2*= p'? — к% + ie2 и переходя к пределу ei 10, е21 0, получим в левой части
304 ГЛ. VI. ВОПРОСЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБОСНОВАНИЯ
Ч81 + ?2) V 4 ка + *А-**2
Встречающийся в этом соотношении интеграл
при е 10 превращается в нормировочный интеграл для собственной функции я|и(/с), так что 7(0) = 1. Поэтому все выражение дает в пределе единичный оператор 1А с ядром б (ра — р'а). Остальные слагаемые в правой части имеют вид произведенцй сингулярных знаменателей
(2 2 /2 2 • 1
Р^ — Кв — Ра + кА — 1&) на стремящиеся к нулю множители г*81э 2. Эти слагаемые обращаютоя в нуль в пределе 81,2 ^ 0. Отсюда вытекает равенство и^и^ = 8АВ1А? Нам осталось убедиться в справедливости соотношений
ио*ил = 0, и1и0 = 0, (6.21)
которые означают ортогональность областей значений операторов и0 и иА, А Ф 0. Для этого опять используем тождество Гильберта, которое умножим на оператор Ыо(22)Ьв справа:
2 Т (21) Б0 (21) И, (22) Ту,в = ^2 - г^1 (Т (г,) И,, (*,) х X Ьв (Нв - г2) - 2 (НА - *,) ЬхЫв ТаВ (г2)). (6.22)
а
Положим здесь %\—Рг — ?е, %2 = р$ — к% + ге4 так что я2 — ^1 =* Р2 — р$ — 2^*8, и перейдем к пределу 8 \ 0.
В левой части получим выражение иоиБ, а в правой — сумму ядер с сингулярностями [Рг — щ — Хв — 2?е) 1 ? умноженными на стремящийся к нулю параметр е. Из
ядро оператора иА\]в, действующего из канала $в в канал $а, и нам теперь надо заняться правой частью. При А = В в правой части содерлштся слагаемое, которое до предельного перехода имеет вид
1&2 \ —лг~:—о : "г
§ 2. СИСТЕМА ТРЕХ ЧАСТИЦ 305
X
V a'.?' ;
Выражение в правой части представляет собой сумму сингулярных ядер двух типов. К первому относятся ядра, которые содержат произведение комплексно сопряженных
Предыдущая << 1 .. 84 85 86 87 88 89 < 90 > 91 92 93 94 95 96 .. 118 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed