Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Меркурьев С.П. -> "Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц" -> 86

Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.

Меркурьев С.П., Фаддеев Л.Д. Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц — М.: Наука, 1985 . — 400 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantteordlyasisneschas1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 80 81 82 83 84 85 < 86 > 87 88 89 90 91 92 .. 118 >> Следующая

Аналогично можно определить волновые фупкции операторов На и Ree. Согласно (5.162) волновые функции оператора На определяются как амплитуда искаженной сферической волны. Мы обозначим эту функцию тем же символом, что и асимптотическое решение (5.51): LG{X, Р). Асимптотические функции Грина для оператора На (5.72) содержат как шестимерные сферические волны, так и кластерные сферические волны, которые порождаются собственными значениями оператора ha. Мы обозначим через Lac(Z, Р) волновые функции, которые определяются соотношением (5.178), и через LAc{X, рА) — волновые функции типа (5.179)>
Определим далее компоненты волновых функций с помощью асимптотических представлений для компоненты ядра резольвенты
?a? (Xt X', Е±Ю)~ CEF(af (X, P) (X, E) +
+ PbWbVbXMKv'b, e). (5.180)
i
Аналогично (5.178) н (5.179) положим
Ф?> (X, P) = S Fty (X, P), Ф$(Х, PB)=F^{X,\j,B).
§ 6. ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ
289
Тогда волновые функции даются суммой
1Ро±) (х, Р) = 2Фа} р) + L*
°L ,4.4 (5.180')
Ув±)(Х,рв) = |ФШ(Х, Рв).
Представления (5.480) удобно использовать для вывода компактных уравнений, которым подчиняются компоненты (5.180'). 'Эти уравнения получаются из интегральных уравнений (5.154) с помощью уже знакомой процедуры. Нужно перейти в уравнениях (5.154) для ядер fia?(X, X', Е±Ю) к пределу X' °°, приравнять соответствующие асимптотические члены в левой и. правой частях и затем отбросить искаженные сферические или кластерные волны. Таким образом, приходим к следующим уравнениям:
Фао = Lac - Lc - Йа (Е + Ю) Va 2 Ф70,
. ^а (5.181)
Фав = 6a?L?c - Ra {Ев + i0) Va 2 Ф7 в.
Если точка Е не является особой, то эти уравнения однозначно определяют компоненты волновых функций.
Интегральные уравнения для ядер Z/c, Lac и Lac могут быть получены совершенно аналогично из интегральных уравнений (5.156) и (5.171). Они совпадают по форме с последними и различаются лишь свободными членами. Ясно, 4то в качестве таковых нужно брать асимптотические решения, достроенные в §§ 1—3.
Альтернативно волновые функции можно определить на основе дифференциального формализма как решение уравнения Шредингера в классе гладких функций с фиксированной асимптотической формой. Опишем такой подход на примере функции WA.
Обозначим через SA множество функций, имеющих вид суммы
U (X) = а|и Ы (уа, Ра) + /л (X), (5.182)
где функция отвечает потенциалу (5.100), а функция fA принадлежит классу SE,C при/? = pd— к а-Справедливо следующее утверждение.
Уравнение Шредингера (5.177) однозначно разрешимо в классе функций SA. Его решение совпадает, с волновой функцией WA(X, рА).
19 с. Ц, Меркурьев, Л. Д. Фаддее д
290
ГЛ. V. СИСТЕМЫ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
Мы не будем приводить здесь рассуждения в оправдание дифференциальной формулировки — они почти дословно совпадают с рассуждениями, которые мы провели в главе IV.
Отметим, что первое слагаемое в сумме (5.182), фиксированное для всех функций класса 3А, можно задавать с разной точностью. Например, его можно заменить функцией ^а^а)^^(Уа, Ра), определяемой равенством4 (5.93). При этом упоминавшиеся в § 1 особенности, отвечающие мультипольным моментам эффективного потенциала ^аЧ^сс), ранее сосредоточенные в первом слагаемом (5.182), будет иметь амплитуда искаженной сферической волны' для второго, варьируемого, слагаемого.
Волновые функции можно определить и с помощью дифференциальных уравнений для компонент. Чтобы получить последние, применим к однородным уравнениям (5.181) оператор На —Е.
Получим соотношения
(- А* * *а (х) + Д (X) - Ф«в(Х, рв) -
--9в(Х) 2 Фув(Х). (5.183) Складывая их, придем к выводу^ что сумма ^Фув удов-
V
летворяет уравнению Шредингера (5.177).
Обозначим через Ба множество вектор-функций = 1=3 {Д, /г, /з), компоненты которых представляются в виде суммы
и (X) = 8аууА (*«) № (уа,рл) + 7у (X), (5,183')
где функции /т являются компонентами вектор-функций класса ВЕ, с.
Так же, как и в случае нейтральных частиц, можно показать, что система уравнений (5.183), рассматриваемая в классе Да, имеет единственное решение, которое совпадает соответственно с компонентами функций 4яА(X, рА). Последние же равны сумме этих компонент (5.1800.
Если отделить простейшие слагаемые 1|)а-'Фа\ то для компонент волновых функций получим неоднородные уравнения типа (4,45).
§ 6. ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ
291
Аналогично можно определить волновые функции У?0{Х1 Р). В данпом случае, однако, больше приходится заниматься анализом медленно убывающих членов асимй-тотики. Наряду с искаженными плоскими волнами мы должны также выделять и другие слагаемые, описывающие перерассеяние частиц. Мы привели детальные форт мулы для таких слагаемых в §§ 1—4. Определенную осторожность нужно соблюдать при постановке граничных задач в случае, когда в системе имеются разноименно заряженные частицы. При этом, в силу (5.103'), волновые функции обращаются в бесконечность, когда относительный импульс ка таких частиц равен нулю. Поэтому при постановке граничных задач для ЧГ0(Х/ Р) нужно накладывать ограничения ка?*0. Мы не будем продолжать обсуждение и описывать конкретные формулы. Все необходимые для дифференциальной формулировки результаты мы уже привели выше в §§ 1—4.
Предыдущая << 1 .. 80 81 82 83 84 85 < 86 > 87 88 89 90 91 92 .. 118 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed