Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
X /а(- | Рл | У а) + /а±) (X, Я), АФО, (6.24)
где функции /о и принадлежат классу с при
Е=-Р2 и Е — ЕА{рА) соответственно.
Слагаемые Г0 и ГА мы опишем более подробно в конце параграфа и там же мы докажем эти формулы.
С помощью приведенных формул можно доказать, что операторы ио±) и 11а:) являются изометрическими, а их области значений ортогональны, так что справедливы равенства
и!ив = бЛВ1Л, А, В~ 0, {а, I}. (6.25)
Действительно, рассмотрим билинейную форму /Ав~ = (иА/А, ив?в), где /А, ^в г-гладкие финитные функции. Как и в системе двух тел, это выражение можно записать в виде предела:
§ 2. СИСТЕМА ТРЕХ ЧАСТИЦ 309
интеграл по сфере
(pA-pt-iO)'1 j" UA(X,pA)±UB{X,jp'B)dSR.
dVR
Проинтегрируем затем по угловым переменным Ра и Рв и воспользуемся формулами (6.23), (6.24). Интегрируя, наконец, по переменной \рА\ и учитывая асимптотические формулы (2.35), придем к соотношениям /лв — = 6лв(/а, ёв\ из которых вытекает (6.25).
Покажем теперь, что волновые функции W0 и 4я А образуют полную систему функций в подпространстве, отвечающем непрерывному спектру Н. Для обоснования полноты достаточно проверить справедливость следующего утверждения.
Пусть К не является особой точкой уравнения (5.154). Тогда спектральная функция Еч, дифференцируема по К и ядро ее производной может быть представлено в виде
аЕ%(^Г) = J % Р) < (X, Р) «Х(Р» — k)dP + + /Аг 2 ^ PA ^ РА 6 &A (Ра> ~ V йР^
<2jl) А?0
(6.26)
Доказательство этой формулы может быть проведено по схеме, использованной в случае двух заряженных частиц.
Воспользуемся выражением спектральной функции через резольвенту (6.2'). Разность ядер Д(Х, Х\ Х±Ю) преобразуем с помощью формулы Грина. Получим следующее соотношение:
dE%{X, X')
dl = _ ¦*->¦
= lim J R (X, Y1X + iO)§RR (Yx X'x X —Ю) dSR. (6.27)
(dEk \
Рассмотрим затем билинейную форму l/, g I, где
/ и g — фипитпые гладкие функции. На основе формулы (5.176) мы можем записать асимптотику интеграла в правой части (6.27) в виде суммы слагаемых, которые порождаются произведением всевозможных искаженных
310
ГЛ. vi. ВОПРОСЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБОСНОВАНИЯ
сферических вола и С??*. С помощью соотношений
(2.35) можно показать далее, что все слагаемые, которые порождаются произведениями сферических волн Q(a)Qiв) с различными значками АФ1 В, равны в пределе В. 00 нулю, а конечный вклад дают лишь члены, содержащие произведения однотипных сферических волн Q(a)Q(a) Амплитуды же этих волн выражаются через волновые функции соотношениями (5.178), (5.179). Отсюда немедленно получим-представление (6.26).
Как и в системе нейтральных частиц, описанные результаты можно объединить в предложение 6.4.
Оператор рассеяния. Вычислим далее ядра оператора рассеяния для системы трех заряженных частиц. Мы выразим эти ядра через амплитуды рассеяния, которые будем рассматривать как обобщенные функции. Поэтому нам удобно сначала определить эти функции и перечислить основные свойства амплитуд рассеяния.
Рассмотрим сначала амплитуды, отвечающие волновым функциям У?А(Х, рА), АФО. Амплитуды РВА(ув, Ра) искаженных сферических волн (?в, описывающие неупругие процессы, В ФА, являются гладкими ограниченными функциями. Если все частицы заряжены одноименно, то гладкими являются также амплитуды Р0А(Х, рА) искаженных сферических волн в К6. Если же в системе имеются частицы с зарядами разных знаков, эти амплитуды обладают квадратично интегрируемыми на единичной сфере |Х|==1 особенностями вида \ха\~т\Х\1/2. Амплитуда РАА{уа, р«), соответствующая абсолютно упругим процессам, имеет неинтегрируемые сингулярности при
(#а, Ра) = 1. ЭТИ СИНГУЛЯРНОСТИ МОГуТ быть ЯВНО ВЫДе-
лены в виде ^
Раа(?', р) = ^ааСр', р) + |^Ч(^2'+1А, (6-28)
р р I
Па
*\ра\'
где fA и Раа — ограниченные гладкие функции. Второе слагаемое в этой формуле совпадает с двухчастичной амплитудой рассеяния для оператора Еа, старшая особенность которой является чисто кулоновской (5.5).
Ниже мы будем сопоставлять амплитуде ЇЇАА обобщенную функцию на сфере 5(2), которую будем обозна-
§ 1 СИСТЕМА Ti>Efc ЧАСТИЦ Sil
чать тем же символом FAa- В локальных координатах сингулярная часть (6.28) действует как обобщенная функция t"1~'l^A, определяемая с помощью аналитического продолжения интеграла (6.11), и совпадает с двухчастичной кулоновской амплитудой (5.5).
Рассмотрим далее волновые функции ч?0(х, р).
Амплитуды трехмерных сферических волн QB, описывающих асимптотику этих волновых функций, являются гладкими ограниченными функциями. Если частицы заряжены разноименно, эти амплитуды имеют квадратично интегрируемые на единичной сфере S{5) сингулярности вида l&J~1/2. Амплитуда же шестимерной сферической волны F00{X, Р) имеет неинтегрируемые особенности, которые отражает представление
^оо = + 2 + 2 ^a? + F0. (6.29)
а аФ$
Здесь F0 — гладкая, ограниченная при I&J >0 функция. Если в паре а действует кулоновское притяжение, то при \ка\ — О эта функция имеет квадратично интегрируемые на единичной сфере |Р| — 1 особенности.
Сингулярным слагаемым (6.29) будем сопоставлять обобщенные функции, действие которых будет описано ниже. Эти обобщенные функции и соответствующие им ядра мы будем обозначать теми же буквами, что и амплитуды.
