Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Меркурьев С.П. -> "Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц" -> 81

Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.

Меркурьев С.П., Фаддеев Л.Д. Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц — М.: Наука, 1985 . — 400 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantteordlyasisneschas1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 75 76 77 78 79 80 < 81 > 82 83 84 85 86 87 .. 118 >> Следующая

§ 5. КОМПАКТНЫЕ УРАВНЕНИЙ
2?3
(|Х'| ->¦ «О членов. Имеет место равенство (_ Ах, + F<0) (Х-} _ 2) (Х) х>) z) в
= o (X - X') - Gae (X, Х\ z) Fas (X, X', z), (5.155)
где медленно осциллирующая функция 7as(X, X', z) убывает быстрее степени |X'l~3-e, е > 0, равномерно относительно переменной X.
3) При 1X1-*оо и |Х'|<(1+|Х|)\ v<l/2, асимптотика 6?as(X, X', z) задается эйкональным приближением (5.50) отвечающим сферическому эйконалу
Ga8(X, X', z)~C2IXh5/2 ехр Ш1\Х\ + iW&a(X, z)}f{X'9 X).
(5.155')
Если известна функция 6?as(X, X', z), обладающая перечисленными свойствами, то для ядер резольвенты i?a(X, X', z) можно получить уравнение теории возмущений, к которому применима альтернатива Фредгольма, Действительно, равенство (5.155) для функции Ga8 можно переписать в операторном виде:
Gas (z) (На — Z) = I — GasVa8,
где через Gas и GasVas обозначены операторы, задаваемые ядрами Gas(X, X', z) и Gas(X, X', z) • 7а8(Х, X', z). До-множая это соотношение справа на резольвенту оператора На, получим искомое уравнение теории возмущений:
Ra(*) = Gas (z) - GasVasRa(z). (5.156)
Это уравнение можно толковать как модифицированное уравнение (2.9), где ядро 7а8(Х, X', z) играет роль короткодействующего «потенциала».
Доказательство фредгольмовости данного уравнения основано на том факте, что ядро (6гавУа8)(Х, X', z) достаточно быстро убывает по второй переменной. Отсюда следует, что свойства интеграла
/ (X) = J Gas (X, X', z) VM(X, X',z)g {Х'УаК',
который определяет действие оператора GasVas, зависят только от свойств ядра Gas(X, X', z) как функции X. В частности, если g(X) непрерывна и убывает, как (1 + IXl)-5/2+v, V > 0, то функция /(X) является равномерно ограниченной и равностепенно непрерывной и убывает, как |Х|~5/2. Таким образом, множество функций
8 С. П. Меркурьев* Л. Д. Фаддеев
m
ГЛ. V. СИСТЕМЫ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
g(X) можно подобрать так, чтобы оператор Ga8Va8 улучшал их свойства. Следовательно, этот оператор является вполне непрерывным.
Заметим, что оператор GasVas может быть сделан сколь угодно малым по норме за счет выбора постоянной обрезания а в (5.104'). Эту постоянную можно подобрать так, чтобы соответствующее однородное уравнение / = GasVa8/ не имело бы нетривиальных решений при 2, лежащих за пределами сколь угодно малой окрестности нуля. Поэтому, если мы рассматриваем фиксированную точку z, мы можем считать, что однородное уравнение (5.156) не имеет нетривиальных решений.
Следует отметить, что требование об убывании функции Fas(X, X', z) из (5.155) можно несколько ослабить. Можно считать, в частности, что при близких значениях аргументов,X ~ X', эта функция имеет порядок 0(Ш-1). Это не меняет существа дела — оператор GasVa3 остается вполне непрерывным. Ниже мы построим асимптотическую функцию Грина Ga8(Z, X', z), для которой выполняется именно это ослабленное условие.
Таким образом, наша основная задача состоит в построении асимптотической фуцкции Грина Gas(X, X', z). Приступим к ее решению.
Как мы показали в § 2, асимптотика решения уравнения Шредингера для функции 1Fas(X, Р), отвечающей оператору На, определяется прямолинейными траекториями свободных частиц, которые задаются плоским эйконалом (Х,Р). Поэтому в качестве решения неоднородного уравнения Шредингера (5.155), как ив случае нейтральных частиц, ectecfbehho взять эйкональное приближение, соответствующее эйконалу IX — Х'1, который описывает прямолинейное распространение сферической волны из точки X' в точку X. В результате при IX — Х'1 <*> мы получим асимптотическое решение этого уравнения в виде произведения свободной функции Грина на кулонов-ский фазовый множитель:
?as(X, X', z) = exp UW&a{X, X', z) + ibWAX, X', z)},
где функция Was определяется интегралом по прямоли-
(5.157)
Последний задается равенством
§ 5. КОМПАКТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 275
нейной траекторий, соединяющей точки X и X': \?&6 (X, Х\ *) - | У(0) ЦРхХ. + Мхх,) Л,
Ри* = Х-Х', М^ = Х-Р^,(Х,
а добавочная фаза 8WN — рекуррентными соотношениями (5.49'), где следует взять конечное число N членов. Отметим, что если точки X и X' расположены в области ?20, так что потенциал У(0)(Х) равен сумме кулоновских, то функция ТУаа сводится к сумме двухчастичных фаз (5.14'), где энергетический множитель % следует заменить величинами z~1/2 \Х — X' 11 ха — х'а |-1: ТУа8(Х, Х',*) =
па ы\ха-ха\\ха\+(ха-х'а'ха) 2У* а\х*-ха\ \ха-ха\\ха\ + (ха-ха> хаУ
Как и в случае волновых функций, эйкональные формулы теряют смысл в ряде особых направлений. Последние могут быть охарактеризованы на основе проведенной в § 3 классификации асимптотических режимов функции У?0(ХГ Р), если сопоставить энергетическим переменным
— | xф xI
ъ'\Х — Х'\ ' а паРаболическим переменным |(а) = \ха\ — (#а, ка) — аналогичные коордипаты, построенные по вектору — ха :
I ' (#сс) = |*а| + (#а, х'а).
В частности, область действия эйкональных формул ограничивается условием на «координатные» переменные
1>{ха)>(\ха\ + \х'а\)\ V >0 (а = 1, 2, 3), (5.158)
т. е. точки ха и ха не должны располагаться на прямой^ проходящей через начало координат, по разные стороны от него, и с условием на «энергетические» переменные
Предыдущая << 1 .. 75 76 77 78 79 80 < 81 > 82 83 84 85 86 87 .. 118 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed