Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
Особенность слагаемого Fc имеет вид
где ограниченная функция Ас дается^формулами (5.121), (5.122). Обобщенная - функция \Р — Р \~b~2ir]o в сферических координатах действует как Г"1""1*10 (6.12)
Через Fa обозначена обобщенная функция, которая задается равенством
РаФ, П= /№, ь'«)га{ЙГ*2- (6-31)
\Ра-Ра\ а
Здесь Аа — ограниченная функция, и действие обобщенной функции | р — р' |~3~<а« в сферических координа-
тах и=\р— р'\, р — р', определено формулой (6.12).
312 Г.ТТ. vi. вопросе! математического обоснований
Обобщенная функция определяется равенством
/аН^а» ^а) — /а(^а» ко) —'
- i exp J2i arg Г (1 + f gf^i)} 6 (6'32)
Здесь /а — сингулярная амплитуда для лары частиц ос, особенность которой описывается формулой (5.5). Амплитуда /а действует как обобщенная функция ^~1~ir, определенная выше. Через б (ко,, ка) обозначена б-функция на сфере 5(2). Отметим, что обобщенные функции/а} и Ра — Ра\~3"гаа зависят от разных кинематических переменных. Вне особых направлений Fa является обычной функцией, которая совпадает с амплитудой (5.134). Обобщенная функция F a? задается соотношением
Fap(P, Р') = №(ка, ка.(ра, P?))/^(A?Ip«, Р»), 4) X
х 2a? (р, р')(4 (Ра, р'ъ) - 42 - io)"1-iaa?, (б.зз)
где обобщенные функции fa\ /?S) определены выше.
Гладкая функция- ЛаР описывается равенством (5.142),
а обобщенная функция {№ — к'ъ — Ю)~Мц определяется
посредством аналитического продолжения интеграла 1
j Лф(*)(* —te)"1"111 при с j 0. -1
Введем в рассмотрение интегральные операторы, задаваемые следующими ядрами:
Sab(Pa> Рв)=* -^6(^а (Ра) — Ев(р'в)) Fab(pa, Рв),
Sob(P, Рв)-~1Ы12С^Ь {E~EB{pB))FQB{P, р'в\
(6.34)
$ао(Ра> П^(2пГь/^(Еа(Рл)^Е)РмСра, Р'),Р'2=Е, Soo {Р, П = 2*1^6 (Р2 - Р'2) F00 (Р, Р').
Как и выше, здесь использовано обозначение С0 = = — eiJl/i(2n)5/2nE3/\ По определению сингулярные ядра Faa и Р0о понимаются как обобщенные функции, определенные выше.
§ 2. система трех частиц 313
ь0а— .2 /о-чЯ/2'
Рассмотрим матричные ядра оператора рассеяния S, задаваемые равенствами
Sab = Ua-)*U(b+). (6.35)
Справедливо следующее утверждение.
Оператор S унитарен и коммутирует с произвольной ограниченной функцией оператора Н. Его матричные ядра Sab задаются равенствами (6.34).
Первая часть этого утверждения легко доказывается на основе предложения 6.4 путем таких же рассуждений, как и в случае нейтральйых частиц. Представления (6.34) для матричных ядер SAB могут быть доказаны с помощью следующего утверждения об асимптотике интегралов (6.23), (6.24), которое мы докажем ниже.
Амплитуды сферических волн слагаемых Т0 и ТА класса SE,C в формулах (6.23) и (6.24) выражаются через функции /А и операторы SBA соотношениями
/ва (Рв, Ев) = СВА J SBA (рв, Ра) /а (ра) dp'A> (6.36) где через Сва обозначены нормировочные коэффициенты
СВА = -2Ы{Ев + к\)-1!\ АфО, ВфО; iC0 (Е) л|ра|2 (2я)3/2' САо = -i(2nf2E-\ А^О;
Формулы (6.23), (6.24) и (6.36) можно объединить в следующее асимптотическое представление, аналогичное (6.16):
У в (X, рв) ~ СввЦв(хв) № (у в, Ев) б (- Ув, рв) + + 2 САВ^А (хА) (уА, ЕА) SAB (| рА | уА, Рв). (6.36')
а
Чтобы убедиться в справедливости (6.36'), следует с помощью формулы Грипа представить интеграл от произведения волновых функций Чга")*Чгв") в виде предела интегралов по сферам SR большого радиуса R. Устремляя R -> оо и пользуясь соотношениями (6.36), получим результаты, сформулированные выше.
314
ГЛ. VI. ВОПРОСЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБОСНОВАНИЯ
Как видно из формул (6.34), диагональные элементы оператора рассеяния, в отличие от случая нейтральных частиц, не содеря^ат единичных слагаемых. Все матричные ядра выражаются только через амплитуды искаженных сферических волн. При этом, однако, амплитуда рассеяния имеет сильные особенности. Последние не уступают па силе 6-функцисщным и расположены в тех же точках, что и особенности ядер оператора рассеяния для нейтральных частиц. В частности, в случае оператора Яоо вместо 6-функции 6(Р —Р') появляется особенность (6.30) вида \Р—Р' р5~2гдо? вместо трехмерных б-функ-
ЦИЙ б(ра — ра) —ОСобеННОСТИ |ра— ра |"3""гЛа И ВМвСТО
полюса {ка — &а — Ю)"*"1 — кулоновский искаженный по-
Из определения обобщенных функций г""1"*4, которые задают особенности ядер оператора рассеяния, следует, что интегралы с ними могут быть представлены в регу-ляризованном виде (6.12>. Эта формула может быть символически записана в виде
где «главное значение» Р(^""1_гт1) отвечает второму слагаемому (6.12). Сравнивая определение обобщенной функции /а* с (6.37), видим, что она соответствует «главному значению» кулоновской амплитуды:
Мы можем истолковать эту функцию как. «истинную» кулоновскую амплитуду рассеяния, которая остается после выделения из/а (/са, fca) локализованной при (ка, ка) = 1 б-функции, искаженной множителем i ехр Ш arg Г(1 + ir)a)}.
Физическая интерпретация матричных элементов остается в случае заряженных частиц без изменения. Эффективные сечения процессов рассеяния (В ->- А) пропорциональны величинам \FAB\Z. При этом наличие особенностей в ядрах матричных элементов FAb отражает тот. факт, что полные сечения реакций с заряженными частицами являются бесконечными.
