Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
Нейтральные частицы. Опишем стационарный подход к доказательству предложения и из главы I о строении непрерывного спектра оператора энергии системы двух частиц. Сформулируем сначала это предложение применительно к рассматриваемому примеру.
Разложим оператор энергии 11 в сумму
Ь =» Ьа + Ьс, где Ьа — конечномерный оператор: Ьс1/(*)=« 2-*?(/, Ь)
представляющий собой инвариаптную часть Ь в подпространстве дискретного спектра. Точное утверждение отно-
§ 1. СИСТЕМА ДВУХ ЧАСТИЦ
295
сителъно непрерывного спектра даатся следующим предложением:
Предложение 6.1. Оператор Ь, рассматриваемый в подпространстве фс, ортогональном подпространству дискретного спектра, унитарно эквивалентен оператору кинетической энергии Ь0, т. е. существует изометрический оператор и такой, что выполняются соотношения
и*и = 1, Ш1*=*1-РЙ, Ьи = иЬ0, (6.1)
где Ра — проектор на подпространство дискретного спектра. В качестве оператора и можно взять волновые операторы, определенные равенством (3.22).
Мы докажем это утверждение с помощью явного представления для ядер операторов и(±) (3.22). Проверим сначала, что операторы и(±) изометричны. Запишем ядро произведения и*и в виде суммы
(н*н)а, Л')=*6(*-#) + 6Г(й, к'),
где ядро 6Г(/с, к') является полиномом второй степени относительно парных Г-матриц: 6Г (к, к') =
_ г(к, к', к2 + Ю) к'2+Ю)
~~ &'2 - к2 + Ю к2 — к'2 — Ю
| ^ і (к, я; к2 - ю) г (д, у, к'2 + ю)
Заметим теперь, что это ядро равно нулю в силу тождества Гильберта для Г-матрицы (3.20), где следует положить г1 =* к2 — Ю, ъг = к'2 + Ю. Отсюда немедленно следует равенство и*и = I.
Чтобы доказать сплетающее свойство, достаточно проверить равенство гЫи = иг0Ы и воспользоваться затем соотношением (2.6). Покажем, что это равенство вытекает из тождества Гильберта. Действительно, ядро произведения гЫи можно выразить через Г-матрицы с помощью равенств (2.22) и (3.22). Если затем квадратичное по 7-матрице слагаемое преобразовать к сумме линейных слагаемых
(*> _ ,Г1 Г * + _
•> - (д2-г)(д2-*'2-Ю)
= _ г)-1 (_ «(*. к'2 + Ю)\
296 ГЛ. VI. ВОПРОСЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБОСНОВАНИЯ
то после приведения подобных членов'получим ядро оператора и(+)г0(г): -~^-^-^) (/?,2_-2)-1. Аналогично мо-
к — к — ?0
жет быть рассмотрен и случай оператора и(_).
Для доказательства полноты волновых операторов воспользуемся соотношением между скачком резольвенты на непрерывном спектре и производной спектральной функции:
^-^Нш<г(Х + й)-г(Ь-й)).
Правая часть этого равенства может быть преобразована с помощью тождества Гильберта:
г(Я + 1г) — т(Х — Ы = 2?ег(А, + 1&)т(Х — Ы,
или, в терминах Г-матриц,
21ег(А, + Ыгй - Ы = (I - г<Д + геЫХ + Ы) X
X 2^8г0(Л + 1е)г0(Х — 18)(I — Ш, — Ыг0(А, — (г)). (6.3)
Заметим, далее, что нри е 10 произведение свободных резольвент дает б-фупкцию:
2Ы(к2 - Я)2 + е2) -> 2шб(й2 - Я). (6.4)
При этом первый множитель в правой части (6.3) переходит в волновой оператор и(+), а последний — в сопряженный хемуи(+)*. В результате получим равенство
^ (к, к') = |^6 (д* - X) «<+) (к, д) «(+)• (д, к'). (6.5)
Интегрируя это соотношение и учитывая- равенство
оо
|йЕх=1-Р„,
0
придем к соотношению полноты ии* = I — Ра.
Из предложения 6.1, в частности, следует, что любой элемент гильбертова пространства / может быть единственным образом представлен в виде/ =2^1 + и^±)/(±),
г
причем для любой ограниченной функции ф ф (Ь)/ = 2Ф (- х?) + и<±)ф (Ь0) /ш;
§ \ "система двух частиц
29?
коэффициенты с* и функции /(±) определяются по формулам
и
||/112 = 2с| + 1/(±>1|2. (6.65
г
Приведенные формулы представляют собой простую и точную запись теоремы разложения по собственным функциям оператора Ь, а формула (6.6) дает равенство Парсеваля.
Отметим, что всякий оператор вида и == и(±)т, где т — унитарный оператор, коммутирующий с п0, такя^е обладает свойствами, сформулированными выше.
В заключение приведем альтернативный способ вычисления ядра оператора рассеяния з=и(-)*и(+). Положим в тождестве Гильберта ъ^к2+ 2?е, г2 = к'2, + ?е, так что г^ — ъ^ = к,<1 — к2 — гг. Перейдем к пределу е I 0, учитывая равенство (6.5). Немедленно придем к представлению (3.22'), которое мы получили в главе III с помощью нестационарного определения (1.39).
Заряженные частицы. Обозначим через и{±) интегральные операторы, задаваемые ядрами
и(*>(я, к) = (2я)-3/2г|)(±)К к), (6.7)
где г|)(±)(я, к) — волновые функции, определенные соотношением (5.20). Покажем, что для систем заряженных частиц справедливо предложение 6.1, где в качестве операторов и(±) можно взять кулоновские волновые операторы (6.7). При этом мы будем действовать в конфигурационном пространстве. Конечно, этот подход годится и для нейтральных частиц.
Заметим прежде всего, что сплетающее свойство представляет собой компактную запись уравнения Шредин-гера (5.24') в операторной форме. Чтобы проверить изо-метричность волновых операторов, рассмотрим совместно уравнение Шредингера для функций г|)(#, к) и г|)*(х, к'). Умножим каждое из этих уравнений на дополнительный множитель г|)*(х, к') или -фОт, к) и проинтегрируем по шару Ул большого радиуса Я. Вычитая затем одно уравнение из другого и применяя формулу Грина (4.8),
