Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
2У2| VI
Здесь «импульсные» переменные и к'$а даются равенствами
Ар« = VЯpZа (X, X'), Ара = - Уж^а (X, X'),
а фаза ЬШаа, зависящая от трансверсальной координаты Маа, равна сумме
61Уаа (X, X', 2) = №(Д (X, X', я) + 8И*2а (Хх X', г)%
где
^ = 2 -г^— ь ([ V1140)' I - (*>.. 40)))
И
Через хра обозначена координата точки Х(0) в базисе, отвечающем паре ?: Х(0) == {х$\ #р0)}.
Эйкональные формулы (5.164), (5.165) теряют смысл в указанных выше особых направлениях. Здесь фаза ТУаа обращается в бесконечность. В частности, это происходит при \Маа\ — 0. В этом случае функция задается посредством интегральных представлений (5.163). Последние можно привести к виду (5.161), если в интеграле (5.163) сделать замену переменной у = 7^хуъ и ограничить область интегрирования по у окрестностью критической точки у{0\ Мы не будем, однако, описывать здесь громоздкие формулы, которые получаются в результате этой процедуры.
28б
ГЛ V СИСТЕМЫ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
Итак, мы видим, что функция ба удовлетворяет требованиям, которые мы предъявляем к приближенному решению уравнения Шредингера,— эта функция асимптотически имеет эйкональный вид в неособых направлениях и удовлетворяет условиям сшивания в особых областях. Построим теперь с помощью этой функции асимптотическую функцию Грина для оператора На.
Предположим сначала, ч;то точки X и X' расположены в области Й0. Определим тогда функцию 6?а(Х, Х\ z) следующим равенством:
Х\ z) = Да/(Х, Х\ z) + X', z).
Здесь і?а — функция Грина асимптотического гамильтониана На, а — гладкая функция, которая порождается возмущением У«. Зададим эту функцию равенством
Єа (X, Х\ z) = №> ка).0$ (X, Х\ z),
ка = -7а Ке . (5-166)
где функция 6?^ была определена выше, а функция /сГ^ описывает эффект возмущения У«(Х). Эта функция выражается через двухчастичную амплитуду рассеяния. Именно, предположим, что
(«Га, #а) =ф 1.
Тогда /^} совпадает с амплитудой рассеяния для оператора энергии Ьа (5.22), причем знак (+) соответствует положительным значениям Rel/z1 а (—)—отрицательным. Если {ха, х'а)= —1,то кулоновская часть амплитуды рассеяния /с обращается в бесконечность и в окрестности этих направлений ха и ха ее следует заменить короткодействующей частью амплитуды рассеяния для модельного оператора Ьа?, определенного в предыдущем параграфе, т. е. функция /« = /с + /сз заменяется тогда функцией /сз = /а* — /с, определенной согласно (5.127).
Заметим, что почти во всех направлениях конфигурационного пространства ядро ?а1} описывается эйкональ-ными формулами (5.164), (5.165). Поэтому старшие асимптотические члены можно дополнить эйкональными поправками и добиться, чтобы уравнение Шредингера
§ 5. КОМПАКТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
281
(5.45) для Са выполнялось с точностью до произвольной степени , #»1.Мы будем считать далее, что эта процедура выполнена. Таким образом, в неособых направлениях мы зададим функции Са из (5.166) суммой (5.48) с конечным числом членов N. Л^> 1.
Совершенно такими же соотношениями можно задать функцию Са(Х, X', ъ) в случае, когда точки X и X' расположены в областях ?2р(а, V) при [} Ф а. Пусть, наконец, эти точки переходят в область йа, где короткодействующее возмущение Уа отлично от нуля. Для тех направлений векторов X и X', которые не попадают в особую область, определенную соотношениями (5.158) и (5.159), мы положим
Оа(Х, X', г) = Я(ас)(Х, X', *), (5.167)
где модельная функция Грина На' определена выше равенством (5.71'). При этом уравнение Шредипгера будет выполняться с точностью до членов порядка 1#а| |г/а|~2. Если же точки X и X' попадают в особые области, мы добавим в правой части (5.167) члены, которые, аналогично (5.114), обеспечивают сшивание решения в особой области с эйкопальными формулами. Это можно сделать, например, если задать 6« с помощью приближенного спектрального интеграла (5.160), где в качестве асимптотических волновых функций нужно взять решения Чга8(Х, Р), которые мы построили в § 3.
Если, наконец, одна из точек, например ха, выходит за пределы области йа, то ядро Са снова можно определить эйкональными формулами (5.164), (5.165), где, однако, следует ' заменить отношение ./а|ха|-1 волновой функцией оператора па. При этом аргумент ха функции следует положить равным нулю:
Отметим, что модельная функция Грина Яа(Х, Х\ ъ) и, следовательно, асимптотическая функция Грина ба(Х1 X', ъ) содержат нетривиальную часть, которая отвечает дискретному спектру оператора на. При этом
282 гл. v. системы заряженных частиц
ядро оператора PaRcc имеет вид
(Ра^л) (X, X', z) = l|)A (хА) l|)A (х'А)- Га(уа, у'а, Z — К2А\
(5.168)
где через га обозначена функция Грина для оператора ha-Напомним, что последний описывает рассеяние пары а на кулоновском центре.
Итак, мы описали асимптотическую функцию Грина во всей области определения. По построению эта функция, как и ядро Gas(X, X', z), обладает свойствами, перечисленными выше в условиях 1), 2). Посмотрим, какой вид приобретает равенство (5.155). Рассмотрим выражение
(-A + !/«fcO+ 2 Ь^(Х)-%)Ъа(Хщ X',z) =
=*o(X-X') + Aa{X, X', *), (5.169)
