Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
298 ГЛ. vi йопросы математического обоснования
= (&2 _ /,'2 _ |' ф _^ ^* ^ (6в8)
Здесь символ и^- V обозначает разность
д ди ди
дп дп д%
Чтобы найти предел правой части (6.8) при Л ->¦ °°, умножим-это соотношение на гладкие финитные функции {(к) и g(k/) и проинтегрируем по к и к'. Вычислим далее асимптотику получившихся интегралов с помощью следующего утверждения. Рассмотрим интеграл
/(±)(ж, Е) = | &к^(ж, к)/(к), Е = к\
где /(/с) — гладкая функция.
Предложение 6.2. \х\оо асимптотика ин-
теграла 1ш(х, Е) имеет вид суммы сходящихся и расходящихся искаженных сферических волн:
+щ^>а В)"И±'Уди±'».ц1) (в.9)
где амплитуда 7^(±) является гладкой функцией.
Мы Ьтложим доказательство этой формулы и дадим его в конце § 2 на примере интегралов более общего вида.
Согласно формуле (6.8) задача исследования асимптотики полученных выше интегралов сводится к вычислению суммы выражений вида
ехр {± ЫН + 1иИ ± 1и> (Я) + 1ш Щ йи (IV-*-ц - у - °0-2- Ф (». У)|
придем к равенству
]* г|) (х, к) т|?* (х, к') йх =*
§ 1. СИСТЕМА ДВУХ ЧАСТИЦ
299
где ф — гладкие медленно осциллирующие функции. После замены переменной u — v = t эти интегралы в свою очередь могут быть вычислены с помощью соотношений (2.35). В результате найдем, что все слагаемые, кроме интеграла с экспонентой ехр Шк/2 — /с2)Я}, которая отвечает первому члену в (6.9), обращаются в пределе R -><» в нуль. Указанный же интеграл переходит в скалярное произведение (/, g). Отсюда следует равенство
lim j dkdk' f (к) JW)*) Ч>* *') dx = (/, g),
которое эквивалентно соотношению (u(+)/, u(+)g) = (/, g). Аналогично можно рассмотреть случай операторов u(~}.
Теперь нам осталось проверить- полноту волновых функций. Для этого мы снова воспользуемся представлением (6.2) и преобразуем разность функций Грина с помощью соотношения
lim (г (х, х\ % + Ы) — г (х7 х', К — ?е)) = Bio.
= lim r(x,y,% — iO)^r(y,x'1i + iO)dSR,
которое может быть получено таким же путем, как и аналогичное равенство (6.8) для волновых функций. 'Вычисляя поверхностный интеграл на основании асимптотических представлений (5.15), получим формулу
dE% (х, х') л ' г
\х = ] dk t (*, к) Г (»', к) б (к" - %)г
аналогичную (6.5). Отсюда немедленно вытекает соотношение полноты ии* = I — РЙ.
Оператор рассеяния. Формула (6.9), которую мы использовали для вычисления оператора и*и, оказывается удобной также и для вычисления ядра оператора рассеяния. Напомним, что аналогичное выражение (4.21) встречалось нам в главе IV, где мы дали с его помощью альтернативное определение оператора рассеяния. В случае заряженных частиц мы можем поступить точно таким же образом. Определим оператор рассеяния э как интегральный оператор, который задает амплитуду Р{±)
300 ГЛ. VI. ВОПРОСЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБОСНОВАНИЯ
^ Я/2 0 '
2Я 1
+ |лр|Л^|. (6.13) о о
В этих обозначениях справедливо следующее утверждение.
Предложение 6.3. Ядро $(&, /с7), входящее в представление (6.10), имеет вид
8(к,к)~{- 1к{~__р12+21ц +и*(к1к))Ь{к*-к 2),
(6.14)
где через /св обозначена короткодействующая часть амплитуды рассеяния (5.22).
Таким образом, ядро оператора рассеяния с точностью до множителя совпадает с амплитудой рассеяния:
Л0=игШа--Л,2)/(Л, к')9 (6.15)
в (6.9) формулой
.^(±)(?, Е) = \йк'8(к, к')}(к'). (6.10)
Чтобы описать это ядро, введем в рассмотрение новую обобщённую функцию. Рассмотрим интеграл 1
/(2) = |г7 (*)<«• (6.11)
о
Обозначим через ^~1~гТ1 обобщенную функцию, которая определяется с помощью аналитического продолжения этого интеграла из полуплоскости Лег<1 в точку % = — 1 + Отметим, что при 2 = 1 + ?т] интеграл (6.11) допускает следующую регуляризацию: 1 1
\ Г1"*4/ (*) 4Х = \ / (0) + ] '-(^Ш Л. (6.12)
о о
Через \р — р'|-2-2?ч обозначим функцию на двумерной сфере Б™, которая в сферических координатах соэВ^ = (р, /?•), ф действует как обобщенная функция Г"1"""1, г — 1 — собЭ:
Я 2Я
§ 2. СИСТЕМА ТРЕХ ЧАСТИЦ
301
При этом кулоновскую часть амплитуды /с следует понимать как обобщенную функцию, которая была определена выше.
Отметим, что формулу (6.9) можно переписать в обозначениях, артлогичных (4.5), т. е.
В такой форме ясно видна роль оператора рассеяния как амплитуды при уходящей сферической волне.
Мы докажем представление (6.14) вместе с формулой (6.9) в конце § 2.
Формулу (6.14) для ядра оператора рассеяния можно также получить непосредственным вычислением выражения и("~,!|!и(+). Это можно сделать с помощью формулы Грина по таь;ой же схеме, как было вычислено произведение и*и. Нуж;но преобразовать это выражение к поверхностному интегралу по сфере радиуса Д, а затем вычислить его предел при Н ->¦ °о на основе формулы (6.9). Мы не будем реализовать здесь эту альтернативную возможность. Все необходимые для такого вычисления технические детали мы уже описали выше.
Итак, мы видим, что ядро оператора рассеяния, в отличие от случая нейтральных частиц, не содержит единичного слагаемого, а с точностью до множителя совпадает с амплитудой рассеяния. Тем самым мы получили доказательство результата, который был установлен с помощью эвристических рассуждений в главе III. Следует подчеркнуть, однако, что роль б-функционной особенности, согласно регуляризованной формуле (6.12), выполняет сингулярность чисто кулоновской амплитуды рассеяния.
