Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
знаменателей т-^—л2\2 , 2 или Т~2-і-лЧ2 , 2*
20 с. П. Меркурьев, Л. Д. Фаддеев
леммы о сингулярных интегралах вытекает, что обобщенная функция в правой части стремится к нулю при е 40, откуда получаем равенства (6.21). Наконец, докажем сплетающее свойство
R(z)XJA = \JARA(z),
где через Ra(z) обозначена резольвента оператора энергии канала НА.-Положим в операторном равенстве (6.22),
2 /2
записанном в терминах ядер, Zi = z, z2= — кв + р$ + is
так что z2 — zt = p'? — х| —- z + ге, и представим знаменатель (z2 — Zi)"1 в виде
+ (Р2 - z). (р2 - р'р2 + х| - ге)-1 (р'р2 - х| - z + ie)"1.
Умножая получившееся равенство на R0(z) и переходя к пределу 8 4 0, получим в левой части выражение
R(z)Ub-UbRb(s).
В <правой части при 8 Ф 0 имеем несингулярное выражение, которое умножается на 8. Поэтому в пределе 8 \ 0 правая часть обращается в нуль.
Следующая наша задача — доказательство полноты волновых операторов U0 и UA. Чтобы решить ее, используем соотношение между спектральной функцией и резольвентой
1ar-Si<R<b + te)-R(*.-te)). <6-2'>
С помощью тождества Гильберта представим разность резольвент в виде произведения
R(^ + Je) — R(^~ ie) =
f I — R0 + is) 2Ma?(X + /8)\2i8R0(X+ fc)R0(X— ie)x
V a.? /
566
1*Л. VI. Ё0П?0СМ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБОСНОВАНИЯ
В пределе, е 40 они дают б-функции 8(Р2 — К) или Ь(ЕА(рл) ~ Я). Коэффициенты при этих б-функциях выражаются через произведения операторов ио110 и \JaUa* Ко второму типу относятся произведения всех остальных сингулярных знаменателей, которые определены - при еЮ в смысле сингулярных интегралов типа (3.7). Поскольку такие интегралы умножаются на стремящийся к нулю множитель е, они дают в пределе нуль. В результате мы получаем равенство АК (Р Р'\ С
ах =-)(1Рпи0(Р1 Рп)и,{Р',Р")Ь(Р"2-Ъ)+ + 2 I йрАиА(Р, ра) иА{Р\ р"А) б (ЕА(рА) - Х\
которое справедливо для Я, не совпадающих с особыми точками Е{. Отсюда, так же как в случае системы двух частиц, следует равенство
2иАи1 = 1—Р,,.
А
Из полученных зыше результатов вытекает следующее утверждение.
Предложение 6.5. Существуют операторы и0 и \]А, А Ф 0, А = {а, 0, а = 1, 2, 3; I = 1, 2, ..., #а, действующие из ф0 и фА в ф соответственно и обладающие следующими свойствами:
1^ Всякая функция из гильбертова пространства ф однозначно представляется в виде
А
где /Ле^м/АеА = 0, {а, й.
2. Для любой ф(?), ограниченной на всей вещественной оси, справедливо соотношение
Ф (Н) / = Ф (Р„Н) и + 2 иЛФ (На) /а.
А
3. Функции /А определяются равенствами
4. Имеют место соотношения
1/|2=1/Л2 + 2||/а||2.
А
§ 2. СИСТЕМА ТРЕХ ЧАСТИЦ
307
Предложение 6.4 следует из этого утверждения, если определить оператор U равенством (6.18).
Рассмотрим, наконец, оператор рассеяния S = u<"")*U(+\ Из предложения 6.2 вытекает, что оператор S унитарен и коммутирует с любой ограниченной функцией гамильтониана каналов Н. Для ядер этих операторов можно получить явные выражения в терминах ядер Д/аР, действуя по схеме, изложенной на примере системы двух тел. Соответствующие формулы были приведены в § 4 главы IIL Отметим, наконец, следующие соотношения для матричных ядер оператора рассеяния, которые вытекают из «самосопряженности» резольвенты R(z) = = R* (z) и аналогичного равенства для ядер оператора Ma?(z):
Ma?(P, Р\ z) = M?a(P', Р, г). Ядра GaB(P, p?, z) и Jва(р$, Р, z) связаны равенством
Ga?(P, P?, z) = JjBaip'fi, Р, i).
Аналогичное соотношение справедливо для ядер
P[ab{pol,P$, z): _
НАв(ра, P?, z) = Hba (p'?, Ра,' z).
Итак, мы полностью охарактеризовали непрерывный спектр оператора Н и обосновали гипотезу о полноте.
Подчеркнем, что изложенный в этом параграфе способ доказательства предложений 6.1 и 6.2 и формул (3.71) базируется лишь на стационарной формулировке теории рассеяния и поэтому независим от эвристических построений, проведенных при выводе упомянутых формул для системы N тел.
Заряженные частицы. Проверим теперь соотношения (6.17) в случае системы трех заряженных частиц. Мы опять будем использовать альтернативные рассуждения в конфигурационном пространстве. Мы покажем, что в качестве операторов UA, определяющих преобразование U, можно взять операторы, которые задаются ядрами
Up>(X, Р) = (2дГ3^±)(Х, Р),
UP(X, рА) = (2яГ3/2УА(X, рА), Аф0.
Заменим сначала, что, как и в системе двух заряженных 20*
308 ГЛ. VI. ВОПРОСЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБОСНОВАНИЯ
хив(х1рв)ах1
где интегрирование ведется по шару |Х| С помощью формулы Грина преобразуем внутренний интеграл в
частиц, сплетающие свойства НиА = иАНА сводятся к уравнениям Шредингера для волновых функций у?А(Х1рА) р, следовательно, не нуждаются в дополнительном обосновании.
Центральное место в доказательстве изометричности операторов занимает следующее утверждение об асимптотике быстро осциллирующих интегралов вида
/?} (X, ЕА) = { ?*рАЧ#> (X, РА) и (рА)%
где /а(Ра) — гладкие функции.
При \Х\ ->- оо имеют место следующие асимптотические формулы:
Л±}<*.- -е"Уя)5/2 й^х, *>/.(- /1 х) +
+ Т0±)(Х,Е), (6.23) (^, ^л) ~ гт== Ы (Уа, ЕА) X
