Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
Используя разложение единицы (4.23'), интегральные уравнения (5.154) можно свести к интегральным уравнениям второго рода в этом классе, аналогичным уравнениям (4.77). Ясно, что и доказательство компактности этих уравнений может быть проведено так же,4 как и в случае уравнений (4.77). Отметим, что особые точки уравнений (5.154) совпадают с точками дискретного спектра оператора Н, если только они не равны пороговым значениям,
ЕгфО,-к2А% А= {a, i}, а=1,2,3, г=1, 2, ..., ЛГа,
и отделены от особых точек уравнений (5.156) и (5.171).
Мы не будем продолжать обсуждение технических вопросов — они и так достаточно подробно были рассмотрены выше. Опишем некоторые следствия, которые вытекают из уравнений (5.154).
Свойства функции Грина R(X, X', z) можно описать с помощью предложения, сформулированного в конце § 4 предыдущей главы. Единственное отличие состоит в том, что вместо (4.78) здесь справедливо представление
R (z) = Ra (z) + 2 (Ra (z) - Ra (z)) +
a
+ 22 Rap (2) + 2 Rap (2), (5.173)
где ядра /?ap принадлежат классу iZ)aP; свойства ядер
-йа, -fia$, ^^4, были описаны ВЫШв.
Охарактеризуем более подробна асимптотику функции Грина ЖХ, X', z) при вещественных z. С этой целью введем в рассмотрение новые классы функций.
286 ГЛ V. СИСТЕМЫ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
Пусть ^(ув, Е)~ искаженные сферические волны в И8: _
<№(Ув, Е) = \увI"1 ехр{± %УЕ + х||ув | =Р
и (X, Я) — искаженные сферические волны в Л":
= |*Г/2 ехр{±«/Ж|Х|Ч=*^2|^-1п2/1|Х|}.
Обозначим через классы функций,
которые определяются формулами (4.27)—-(4.29) из § 2 главы IV, где вместо сферических волн в К3 и К6 следует использовать искаженные сферические волны И С/л .
Из результатов этого параграфа вытекает следующее утверждение.
Пусть Е не совпадает с особыми точками, уравнения (5.154) и IX —Х'|>6>0. Тогда существуют пределы ядер ЖХ, X', г) при е I 0, причем эти пределы являются функциями класса как функции X'. Таким обра-
зом, при \Х'\ оо справедливо представление
Н{Х,Х',Е+Ю) ~ СЕРр)(Х,Р)ОР)(Х',Е) +
+ -Ш 2 ра Ра) ЧА (хА) (уа, Е),
а
где Р = ^РУ'ЕХ' и ра= + V Е \ X' I"1 у'а. В силу симметрии ядра ЖХ, X', %) аналогичное представление имеет место и при \Х\
Если переменные X и X' стремятся к бесконечности независимо одна от другой, то асимптотика функции Грина выглядит сложнее. В этом случае следует по отдельности рассматривать итерации уравнений (5.154). Напомним, что первые слагаемые (5.173) описываются эйкональными формулами, которые мы рассматривали выше. Что касается последнего члена..(5.173), равного сумме ядер класса 3)а$, то он представляет собой функцию класса *5^с по каждой переменной X или X'.
§ 6. ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ
287
Отметим, что представление (5.176) имеет тесную связь с аналогичным представлением (2.46) для ядра резольвенты в импульсном пространстве. Именно, после преобразования Фурье сингулярные знаменатели (2.46) порождают искаженные сферические волны
Таким образом, мы оправдали представление (2.46), полученное выше из эвристических рассуждений. При этом мы можем детально исследовать также и строение функций ЙАВ (2.46), которые входят в определение сингулярных множителей. Ясно, что медленно убывающие эйко-нальные члены асимптотики подобно случаю нейтральных частиц, порождают второстепенные особенности этих функций, аналогичные (3.31). Мы не будем конкретизировать это замечание в общем случае. Если это необходимо, указанные особенности можно найти, изучив поведение преобразования Фурье, которое задает переход в импульсное представление. Ниже мы опишем такие особенности в случае, когда переменные рА, р'ви ъ лежат на энергетической поверхности ЕА[рд) = Ев^р'^ = г.
§ 6. Граничные задачи для волновых функций
В этом параграфе мы формализуем определение волновых функций Ч^Х, Р) и 4яА(Х, рА) и опишем граничные задачи для них на основе уравнения Шредингера и дифференциальных уравнений для компонент.
Определение волновых функций. В §§ 1—4 этой главы мы занимались исследованием асимптотической формы волновых функций, понимая их как формальные решения уравнения Шредингера. После того, как мы изучили свойства ядра резольвенты, мы.можем дать более точное определение волновых функций, которое удобно использовать для обоснования задачи рассеяния. Мы воспользуемся рецептом, сформулированным в конце главы IV. Именно, рассмотрим асимптотику функций Грина ЖХ, X7, г) при |Х'1->оо (5.176). Амплитуды искаженных кластерных и сферических волн, очевидно, подчиня-
ога (уА, е),
->^(Х, Е).
288
ГЛ. V. СИСТЕМЫ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
ются уравнению Шредингера по переменной X:
(- Ах + S va (ха) - Fa (X, рА) = 0. (5.177)
Поэтому, как и в случае нейтральных частиц, мы можем взять представление (5.176) за определение волновых функций. В соответствии с выбранной ранее нормировкой мы положим
Y0±)(X,P) = Fi0±)(X,P), (5.178)
yPA){X,pA)^F^\X,pA), АфО. (5.179)
Как и следовало ожидать, асимптотические формулы, построенные в §§ 1—4, правильно описывают поведение волновой функции на бесконечности. Это вытекает непосредственно из определения формальных решений и их связи с асимптотическими функциями Грина.
