Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
которое можно считать- определением ядра Аа(Х, X7, z). Как и в Случае ядра Gas(X, X', z), функция Аа{Х, X', z) быстро убывает по второй переменной. Одако наряду с членами, которые отражены в представлении (5.155'), в данном случае в области Qa появляются новые слагаемые, которые обязаны своим происхождением кластерным функциям Грина (5.168). Таким образом, мы имеем представление
2а(Х,
= G„ (X, X', z) Гад (X, X', z) + %GA (X, X', z)vA (уА, у'А, z),
А
(5.170)
где через GA обозначено ядро (5.168). Функции Уа8 и vA быстро убывают по переменным X7 и уа равномерно относительно X и г/а соответственно.
Как и в случае оператора ДДг), мы можем взять асимптотическую функцию Грина Ga в качестве нулевого приближения для ядра резольвенты Ra(X, X7, z). Получим тогда следующее уравнение теории возмущений:
Ra(z) = -Aa(z)Ra(z) + Ga(z), (5.171)
где через Aa(z) обозначен оператор, задаваемый ядром
§ 5. КОМПАКТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 283
2а(Х, X', zL Это уравнение может быть исследовано по такой же схеме, как и аналогичное уравнение (5.156). Единственное отличие состоит в том, что асимптотика решений наряду с членами, убывающими, как (1 + \Х\)"5/2, содержит также члены с асимптотикой кластерного типа, отвечающие слагаемым (5.168). Можно убедиться, что уравнение (5.171) является компактным. Мы не будем детализовать рассуждения в доказательство этого утверждения — они подробно рассматривались на примере уравнений (4.12) и (4.70). Опишем только несколько следствий из уравнения (5.171).
Заметим, что постоянная а из (5.104') определяет величину возмущений Fa8 и Уд, которые могут быть сделаны сколь угодно малыми по величине. В результате для любого фиксированного z, не совпадающего с пороговыми значениями z?=0,—ка(А=*{<х, i}, i = l, 2, ...
Na), постоянная а может быть выбрана так, чтобы однородное уравнение (5.171) не имело бы нетривиальных решений.
Ниже нам понадобится асимптотическая форма функции Ra(X, X', z) при z, лежащих на разрезе [— Иа, °°) и |Х'|->оо. Согласно'формулам (5.166), (5.162) и (5.168) справедливо следующее соотношение:
Йа{Х,Х\ Е±Ю)~
Здесь суммирование ведется по всем собственным числам оператора ha, через F0a и FAa обозначены ограниченные амплитуды сферических волн, которьш являются функциями X, и Р' = +1ЕХ' и ра = =F VEIX' Г1 уа соответственно.
Мы увидим ниже, что эти амплитуды тесно связаны с волновыми функциями для оператора На.
Итак, мы полностью разобрались со строением функций Грина i?a(X, X', z) и ДсДХ, X', z), входящих в уравнения (5.154), и теперь можем приступить к исследова-
284
ГЛ. V. СИСТЕМЫ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
нию свойств модифицированных компонент резольвенты
RaP и самой резольвенты.
Функция Грина JR(X, X', z). Мы будем действовать по схеме, которая применялась в случае нейтральных частиц. Начнем с построения функционального пространства, в котором следует рассматривать интегральное уравнение (5.154). Для этого мы рассмотрим поведение ядер итераций -ft^pOz). Последние равны сумме (4.70'), где операторы й<ха1...апр определяются равенствами, аналогичными (4.710:
R(anir..an3 (*) = (- 1)П+1 RaVa . . . fi^«»(fiP - Ra).
Заметим, что свойства ядер Йa2r..anp могут быть изучены с помощью такой же техники, как и в случае нейтральных частиц. Главное значение с точки зрения применимости этой техники имеет то обстоятельство, что функции Уа(Х), подобно короткодействующим парным потенциалам уа(яа), сосредоточены в областях ?2«, где слабо .разделены частицы пары а. Поэтому и асимптотику ядер /?оа апр, которые задаются интегралами типа (4.71), определяют те же факторы, что и таковые рассмотренные в § 4 предыдущей главы. Кулоновская специфика проявляется лишь в том, что в показателях быстро осциллирующих экспонент возникают дополнительные фазы, логарифмически зависящие от координат. Эти фазы, однако, не являются препятствием для использования метода стационарной фазы, так как отвечающие им множители представляют собой медленно осциллирующие функции в смысле определения (4.117).
Из представления,(5.172) вытекает, что ядра Ran апр являются ядрами типа 2)^ (4.72). Компоненты этих ядер обладают свойствами типа тех, которые мы перечислили в § 4 предыдущей главы. Можно убедиться^ например, что асимптотика компонент F(X, X', z) имеет вид эйко-нальных приближений, отвечающих рассмотренным выше эйконалам |Х|, Z«(X, X'), 2аР(Х, X') и т. д. При этом в силу тех же причин, что и в случае нейтральных частиц, ядро Ral (X, X', z) имеет разную асимптотическую форму в зависимости от положения точек Х- и X' в конфигурационном пространстве. Оно равно эйкональ-ному приближению, построенному по эйконалу ZaP(X, X7),
§ 5. КОМПАКТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 285
если точки X и X' можно соединить прямой с двумя точками излома на многообразиях ха — 0 и хр = 0, и сводится к произведению искаженных сферических волн в противном случае.
Можно показать в результате, что, начиная с достаточно большого номера тг, свойства компонент ядер стабилизируются и они попадают в класс iZ)«p, который был определен в связи с исследованием уравнения (4.70).
