Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
Ш :0,...,-fi=0. (3.2)
" ¦' dqs
Решая эти уравнения относительно qx, . . ., qs, найдем те значения
обобщенных координат, при которых система может находиться в равновесии.
Таких положений может оказаться несколько, причем в некоторых из них
равновесие может быть устойчивым, а в некоторых неустойчивым. Так,
например, простой маятник, подвешенный на стержне, имеет два возможных
положения равновесия, из них в нижнем положении равновесие устойчиво, а в
верхнем неустойчиво.
Рассмотрим одно из возможных положений равновесия. Будем считать, что в
этом положении потенциальная энергия равна нулю. Это всегда можно
сделать, так как потенциальная энергия определяется с точностью до
аддитивной постоянной. Кроме того, не нарушая общности, можно считать,
что в этом положении все обобщенные координа-
78 гл. III. УСТОЙЧИВОСТЬ'КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ
ты qu . . qs равны нулю (для этого достаточно отсчет координат вести от
этого положения). Будем рассматривать устойчивость равновесия
относительно обобщенных координат qv . . ., qs и обобщенных скоростей (1У
. . . . . ., qs'
Тогда уравнения Лагранжа второго рода
d дТ дТ __ от ~ ~~ "
dqk . у6'6)
fa ~ к к {к - 11 • • • > s),
будут уравнениями возмущенного движения. Число уравнений п = 2s и они
допускают интеграл энергии
Т + П = h, (3.4)
где Т - кинетическая энергия системы.
Лагранжу принадлежит следующая теорема (1788 г.), определяющая
достаточные условия устойчивости равно-вестия консервативных систем *).
Теорема; Если в положении изолированного равновесия консервативной
системы с голономными и стационарными связями потенциальная энергия П
имеет минимум, то в этом положении равновесие устойчиво.
Доказательство. В рассматриваемом положении равновесия потенциальная
энергия равна нулю и имеет минимум. Поэтому по крайней мере в достаточно
малой окрестности нуля значения функции II будут положительны. Это
означает, что в этой окрестности потенциальная энергия П представляет
определенно-положительную функцию переменных q}, а полная энергия системы
V = Т + П (3.5)
определенно-положительную функцию обобщенных координат . . ., qs и
обобщенных скоростей (г, . . ., (s (так как кинетическая энергия Т
механической системы с голономными и стационарными связями является
определенно-положительной квадратичной формой обобщенных скоростей (см.,
например, [12])).
Полная производная функции V по времени на основании интеграла (3.4)
равна нулю. Следовательно, эта функ-
г) Строгое доказательство теоремы Лагранжа впервые дал Дирихле, поэтому
эта теорема часто называется теоремой Лагранжа - Дирихле. Здесь
приводится доказательство Ляпунова, вытекающее непосредственно из его
прямого метода.
§ 3.1. ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА
79
ция удовлетворяет всем условиям теоремы Ляпунова об -устойчивости, что и
доказывает теорему Лагранжа.
Теорема Лагранжа широко используется в приложениях. Как правило, при ее
практическом применении удобнее всего разложить потенциальную энергию в
ряд по степеням qx, . . ., qs, а затем воспользоваться критерием
Сильвестра (2.9). В общем виде имеем
П
= Щ0) + ?
дП
d9j )
4i
- ч dq-dq 3=1 ' " ' j=l /.'=1 4 J
где точками обозначены члены, содержащие q1: . . ., qs в степени выше
второй.
По условию П (0) = 0 (в положении равновесия потенциальная энергия равна
нулю); кроме того, в этом положении должны выполняться равенства (3.2).
Поэтому
п=т21Е
3=1 !¦= 1
где постоянные коэффициенты
/
: cjk -
сьЯкЧ'з +
дЩ
'kj -
dqj dq
к )о
(3.6)
(3.7)
Если коэффициенты с^- удовлетворяют критерию Сильвестра (2.9), то
квадратичная часть равенства (3.6) будет определенно-положительной квадр
а-тичной формой переменных qlt . . ., qs, а вместе с ней будет
определенноположительна в окрестности нуля и потенциальная энергия П. Это
означает, что потенциальная энергия П имеет изолированный минимум и,
следовательно, согласно теореме Лагранжа, в рассматриваемом положении
равновесие устойчиво.
Пример. Система представляет двойной маятник; тела Мг и М2 с массами т1 и
т2 рассматриваются как материальные точки; массой стержней,
сопротивлением воздуха и трением в горизонтальных цилиндрических опорах
пренебрегаем; спиральные пружины' с жесткостями Kj и х2 при верхнем
вертикальном положении маятников находятся в естественном
недеформированном состоянии (рис. 3.1). Считая массы т1 и тг маятников и
их длины и 12 задан-
80 ГЛ. III. УСТОЙЧИВОСТЬ КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ
ными, определим жесткости пружин х2 и х2 так, чтобы в верхнем
вертикальном положении равновесие маятников было устойчивым.
Связи системы идеальны, стационарны и голономны, а активные силы,
действующие на систему, консервативны. Поэтому здесь применима теорема
Лагранжа. Положение маятников будем определять углами <рх и ф2.
Потенциальная энергия П системы складывается из потенциальной энергии П2
пружин и потенциальной энергии П2 сил тяжести
П = П2 + П2.
Имеем
1 1 П]. = -у ххф2 + ~2~ х2 (ф2 - ФО2,
П2 = .- m1gl1 (1 - cos ф2) - m2g [Zj (1 - cos ф2) -f 12 (1 - cos ф2)].
