Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
потенциальной энергии), а координата 0 позиционная. Составим, согласно
формуле (3.11), циклический интеграл
р - == ml2 sin2 0ф = с. ,ч
дф IO.M)
Отсюда найдем ф и внесем его в выражение для кинетической энергии:
^ = ml2 sin2 9 ' Т* = ~2 ml%& + ~2 ml2 sin2 0 * Пользуясь формулой
(3.12), составим функцию Рауса
R = Т* - сф = -у mP02 + -у ml2sing0 -с- sin2 0
R =-ц-тг202
2 2 ml2 sin2 0 •
Отсюда видно, что (см. равенство (3.14))
Д2 = ymW1, /?i = 0, Ro = - ~2 ml2 gin2 е
Так как R1 = 0, то система гироскопически не связана. Согласно
общей теории, составим потенциальную энергию W = П - Rn при-веденной
системы:
W = - mgl cos 0 + ~2 mj2 sin20 • (3.27)
90 ГЛ. III. УСТОЙЧИВОСТЬ КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ
Обозначим значение угла 0 в установившемся движении через а, а значение
циклической скорости через со. Условие (3.24) осуществимости
стационарного движения принимает вид
fdW\ с2 cos а
(wje=a = m**sina- ml2 sin3 а =° <3'28)
или, после преобразований,
sin4 а с2
m2gl3
(3.29)
Это равенство определяет однопараметрическое семейство решений уравнения
(3.28), причем соответствующая величина угловой скорости конического
маятника определяется равенством (3.26)
ф = Фо = ш = тр sin2a • (3.30)
Исключая из равенств (3.29) и (3.30) параметр с, найдем
2 g со cos a = -у .
Как уже отмечалось в примере 1 § 2.6, это условие стационарного движения
конического маятника может быть получено из элементарных соображений.
Примем стационарное движение маятника за невозмущенное и исследуем его
устойчивость с помощью теоремы Рауса с дополнением Ляпунова. Положим 0 =
a + х, внесем в выражение (3.27) для функции W и разложим разность W -
W<> в ряд по степеням х:
fdW\ 1 / d2W \
W-W о = (-gg- )e=a-* + ~2~ {-ЩГ )е=а-12 +• • • -
или, учитывая равенство (3.28),
1 [ d2W \
W - W о = -2-(-д02- )е=ваг"4-...,
где точками обозначены члены, содержащие х в степени выше второй.
Вычисляя производную, найдем
1 Г , с2 sin2 а + 3 cos3 a 1
W - И " = т [ mgl cos a + j *- +...
Так как множитель при х2 положителен, то функция W имеет в стационарном
движении минимум. Кроме того, для всякого п
0 = a 4= ~2~ решение (3.29) непрерывно зависит от постоянной с
интеграла (3.26), а циклическая скорость ф = со непрерывно зависит от той
же постоянной при 0 = а Ф 0. Поэтому на основании теоремы Рауса и
дополнения Ляпунова стационарное движение конического маятника устойчиво
относительно 0, 0 и ф.
Пример 2. Устойчивость стационарных движений центра масс искусственного
§ 3.5. ПРИМЕРЫ 91
спутника Земли [46]. В примере 2 § 2.6 были получены следующие выражения
для кинетической Т и потенциальной П энергий искусственного спутника
Земли (см. рис. 1.5 и формулы на с. 26):
m . ... та
Т = -g- (г2 -|- г2 cos2 0ф2 + г2 02), П = - р. -р- .
Из этих выражений видно, что координата ф циклическая, а координаты г и
(c)позиционные. Циклической координате ф соответствует интеграл площадей
дТ
р = -- = mr2 cos2 0ф = с. (3.31)
дф
Из этого равенства найдем производную ф и внесем ее в выражение для
кинетической энергии:
с m . . 1 с2
Ч> = mr2 cos2 0 ' Т* = "Г (г2 + г202) +Т ";"co8*'6"
Пользуясь формулой (3.12), составим функцию Рауса
m . . 1 с2 с
R = Т* - Сф = -я- (г2 4- Г202) 4- -Q я - С 5-5-я
Y 2 4 1 ' 1 2 mr2 cos2 0 mr2 cos2 0
или
m, . . 1 с2
R - n (r2 4- Г292) -Я-------" OQ- .
2 v 1 ' 2 таг2 cos2 0
Отсюда видно, что (см. равенство (3.14))
Я2 = -^Ц2 + /-202), Д, = 0, Ло = -4^2сО820 •
Так как Rt = 0, то система гироскопически не связана.
Согласно общей теории,, составим потенциальную энергию W = = П - Д0
приведенной системы
та 1 с2 W = - 6~Т + ТГ таг2cos20 • (3-32)
Условия (3.24) осуществимости стационарного движения при-имают вид
д\Р та с2 йШ c2sin0
-faT (А -7т - тгз cosa0 = 10~= mr2 cos30 = °' (3'33)
Эти уравнения имеют однопараметрическое семейство решений
r = r° = (1 та2 ' (3.34)
0 = Оо = 0, (3.35)
причем соответствующая угловая скорость вращения радиуса-вектора центра
масс спутника определяется из интеграла (3.31):
ф = ф0 = со = -(3.36)
92 ГЛ. III. УСТОЙЧИВОСТЬ КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ
Как было уже показано в примере 2 § 2.6, стационарные движения
искусственного спутника представляют собой движения в плоскости Оху по
круговым орбитам радиуса г0 с постоянными угловыми скоростями. Исключай
из равенств (3.34) и (3.36) параметр с, найдем
со2г* = р.
Эта формула была получена ранее из простых физических соображений (см.
равенство (1.30)).
Примем стационарное движение спутника за невозмущенное и исследуем его
устойчивость с помощью теоремы Рауса и дополнения Ляпунова. Положим г =
г0 + х, внесем этд в выражение (3.32) для функции W и разложим разность W
- Wn в ряд по степеням х и 0:
/ aw \ / aw \
иг-^=(тг)в-+(-вг)0в +
" / am \ " / am \ i
2(д^ё/о*0 |_( 002 )0aJ-l
am
dr*
или, учитывая равенства (3.33),
'/am
\ дг2
W - w0 = 4-
/a4V\ г anv \ /ат\ i
)0*а+2\Ш6')0хв+ М.*] +'
Имеем
/ачу\ " т " са / am \ " /ат\ с2
mii' \дхдб)0-=0'
о о
Следовательно,
1 Г / /и
ТК-И"о = -2- (- 2р
