Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
многими учеными, в частности Н. Г. Четаевым,
А- А. Андроновым и др.
72
ГЛ. II. ПРЯМОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА
Кривая равновесия дает возможность наглядно проследить за состоянием
системы при изменении параметра. Так, если медленно и непрерывно изменять
Е, начиная от Е = 0, то, как видно из рис. 2.21, при значениях Е, меньших
Е*, установившихся режимов
Рис. 2.22
не существует и, следовательно, вольтовой дуги не будет. При дальнейшем
изменении Е от Е* до Е2 мы будем перемещаться по участку А С кривой
равновесия. Возникшей вольтовой дуге будет соответствовать ток,
изменяющийся от 0 до 1С. При переходе электродвижущей силы Е через
значение Е2 ток скачкообразно изменится от 1С до Iр и затем будет
непрерывно увеличиваться вместе с увеличением Е (рис. 2.22, а). Если
теперь уменьшать Е от значений, больших Е2, до Ег, то ток будет
непрерывно уменьшаться до ID. При
прохождении электродвижущей силы Е через Е1 ток скачкообразно уменьшится
от ID до /в и в дальнейшем будет непрерывно уменьшаться вместе с
уменьшением Е (рис. 2.22, б).
Аналогично можно построить кривую равновесия, соответствующую изменению
сопротивления R.
Пример 3. Условие устойчивости лампового генератора [4]. Рассмотрим
простейшую схему лампового генератора с индуктивной обратной связью и
колебательным контуром в цепи сетки (рис. 2.23). Пользуясь законами
Кирхгофа и учитывая направления токов в цепи, а также положение
положительной полярности конденсатора, получим следующие уравнения
(сеточными токами пренебрегаем):
du 1 dl di
¦i, L -J7- = u - Ri-M 3J7- • (2.52)
dt
dt
dt
§ 2.7. ПРИМЕРЫ НА АСИМПТОТИЧЕСКУЮ УСТОЙЧИВОСТЬ 73
Член -М dijdt представляет э.д.с. обратной связи, наводимую благодаря
воздействию на контур анодного тока, протекающего по катушке Ьа. Считая,
что анодный ток зависит только от сеточного напряжения ug = и (это
достаточно хорошо выполняется для триодов с большим коэффициентом
усиления), будем иметь
dla dla du n du dt ~ du dt Iu> dt '
dia
где S (и) = -д - крутизна характеристики ia лампы (примерная зависимость
тока ia и величины п от напряжения ug = и по-
Рис. 2.24
казаны на рис. 2.24). Теперь дифференциальные уравнения движения (2.52)
примут вид
l di 1
du
dt
dt
u - - [RC - MS [u)]i. (2.53)
Исследуем устойчивость равновесного состояния и = 0, i = = 0 относительно
напряжения и и тока i. Для этого возьмем функцию- Ляпунова в следующей
форме:
7=4~(тН2+м2) • ^
Очевидно, что эта функция определенно-положительна. Вычислим производную
V функции V:
L di du
V =~-~С 1ТГ + u~dT • (2'55)
Подставим вместо dildt и du/dt их значения из уравнений (2.53)
г' {"Г ~ ТС " MS *} + " (" т)
L
С 1 {
или, раскрывая скобки и группируя члены,
V = - [RC - MS (u)l i2.
Разложим функцию S (и) в ряд по степеням и: S (и) = S (0) + S' (0) и +
(2.56}
(2.57)
74
ГЛ. II. ПРЯМОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА
и внесем это выражение для S (и) в производную V:
V = - -?r(RC-MSo) i2 + • . .,
(2.58)
где точками обозначены члены, содержащие и и i в степени выше второй, а
?0 = S (0).
При достаточно малых по модулю значениях и и г производная V будет не
знакоопределенной, а только знакопостоянной функцией переменных uni.
Поэтому, пользуясь выбранной фунцией V (2.54), мы не можем применить
теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости и неустойчивости
движения. Неприменима к ней и теорема Четаева о неустойчивости движения.
Воспользуемся теоремами Красовского. В качестве многообразия К возьмем
совокупность точек, для которых и ф 0, i - 0 (на плоскости (г, и) это ось
и). Покажем, что многообразию К не принадлежат целые траектории системы.
Для этого внесем в уравнение движения (2.53) значения пе-чеменных г и и,
определяющих К. При г = ОиифО эти уравнения примут вид
что невозможно, так как на К и Ф 0. Рассмотрим теперь два случая:
Если параметры системы удовлетворяют неравенству (2.59), то будут
выполнены все условия теоремы Н. Н. Красовского об асимптотической
устойчивости § 2.3. Действительно, функция V определенно-положительна, а
ее производная К, согласно равенству (2.58) и соотношению (2.59),
отрицательна вне К и равна нулю на К (г = 0, и ф 0). Поэтому равновесное
состояние системы i *= = 0, и = 0 будет асимптотически устойчиво
относительно тока г и напряжения и.
Пусть теперь параметры системы удовлетворяют соотношению (2.60). Тогда
будут выполнены все условия теоремы Н. Н. Красовского о неустойчивости
движения § 2.4. Действительно, функция V может принимать положительные
значения (она определенно-положительна), а ее производная К, согласно
(2.58) и (2.60), положительна вне К и равна нулю на К. Следовательно,
равновесное состояние системы i = 0, и = 0 неустойчиво.
Таким образом, при выполнении условия (2.59) равновесное состояние
системы асимптотически устойчиво относительно тока i и напряжения и, а
при выполнении условия (2.60) равновесное состояние системы неустойчиво.
Случай RC = MSQ требует дополнительного исследования, но практического
интереса он не представляет, так как при небольшом нарушении этого
