Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
условия (что всегда возможно, ибо все элементы системы изготовляются с
определенными допусками) получится неустойчивая или асимптотически
устойчивая система. В § 4.5 разобранный здесь пример будет решен другим,
более простым методом.
Пример 4. Устойчивость равновесия системы с одной степенью свободы,
находя-
RC - MS0 > 0, RC - < 0.
(2.59)
(2.60)
§ 2.7. ПРИМЕРЫ НА АСИМПТОТИЧЕСКУЮ УСТОЙЧИВОСТЬ 75
щейся под действием потенциальной нелинейной силы и силы сопротивления,
пропорциональной первой степени • скорости. Обозначим обобщенную
координату, отсчитываемую от положения равновесия, через q. Будем
считать, что кинетическая Т и потенциальная П энергии системы
определяются равенствами
г = 4"м**• п =- iztt qm+1' <2-61>
где М - приведенная масса системы, предполагаемая постоянной, к -
постоянный коэффициент, а го - положительное целое число, не меньшее двух
(го ^ 2).
Считая, что, помимо потенциальной силы, на систему действует сила
сопротивления, пропорциональная первой степени скорости, составим
уравнение возмущенного движения (за невозмущенное движение принимается
состояние покоя, при котором q = О, 9 = 0):
d дТ дТ Ш
dt dq dq dq
где ц - положительная постоянная, характеризующая силу со. ротивления.
Учитывая значения Т и П, получим
Mq = -Xqm - цт. (2.62)
Положим Ч = хъ q = хг. В новых переменных уравнение (2.62) будет
эквивалентно системе двух уравнений первого порядка
Mil = -цхх - хх(tm), i2 - ж1> (2.63)
причем по условию го ^ 2. В качестве функции Ляпунова возьмем полную
механическую энергию
V = Т + П = 4 Mq* + gm+1,
или, в новых переменных,
у = 4" Мх1 + ~^тт *"+1- (2-64)
Найдем полную производную по времени
Р = Mx^i + xx(tm)i2.
Внесем сюда значения и х" из уравнений возмущенного движения (2.63):
V = Хх {-\lXi - Xx2m) + XX(tm)*!, или, после упрощения,
? = -\ixl- (2.65)
Рассмотрим теперь возможные случаи.
1. Число % положительно (х> 0), а число m нечетное. Для этого случая V
- определенно-положительная функция перемен-
76
ГЛ. И. ПРЯМОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА
ных хл й х2 (m + 1 - число четное), а производная V - отрицательная
функция относительно совокупности переменных хг и х2. Согласно теореме
Ляпунова об устойчивости движения, можно утверждать, что невозмущенное
движение устойчиво, но не асимптотически. Теорему Ляпунова об
асимптотической устойчивости применить нельзя, так как производная V
отрицательная, но не определенно-отрицательная функция переменных и х2
(при х1 - О, х2ф О производная V - 0).
Обратимся к теореме Барбашина - Красовского. Прежде всего, отметим, что
функция V, определенная равенством (2.64), удовлетворяет условию (2.16)
lim V (xt, х2) = оо.
ЗС->оо
Многообразие К получим, положив Т = -цХу = 0. Это ось х2 (хг = 0, х2 ф
0). Это многообразие не содержит целых траекторий, так как на нем
уравнения (2.63) принимают вид
-кх(tm) = 0, *2 - О,
что невозможно (на К переменная х2Ф 0).
Очевидно, что на К производная' Ф = 0, а вне К она отрицательна. Таким
образом, при сделанных предположениях (х > 0, т - нечетное число),
выполнены все условия теоремы Барбашина- Красовского § 2.3 и,
следовательно, положение равновесия х-у == 0, х2 " 0 асимптотически
устойчиво в целом при любых начальных возмущениях.
2. Число х положительно (х > 0), а число т четное'. Функцию V определим
теперь следующим образом:
F = 2+_ф_жГ1). (2.66)
Очевидно, что
Р =
При х > 0 и т четном функция V может принимать положительные значения
(например, при Ху = 0 и х2 < 0). На прежнем многообразии К (хг = 0, х2 ф
0) производная V = 0, а вне К производная К > 0. Кроме того, многообразию
К не принадлежат целые траектории системы. Поэтому выполнены все условия
теоремы
Н. Н. Красовского § 2.4 и положение равновесия Ху = q = 0, х2 = = q =
0 неустойчиво.
3. Число х отрицательно (х < 0), а т - любое целое положительное число,
не меньшее двух (т > 2).
Функцию V берем в форме (2.66). Прй любом целом т их <0 функция V может
принимать положительные значения (например, при Ху = 0 и хг < 0).
Повторяя доказательство случая б), убеждаемся, что при х < 0 положение
равновесия неустойчиво.
Таким образом, система асимптотически устойчива относительно q и q при х
> 0 и иг нечетном. Во всех остальных случаях она неустойчива.
Г Л А В A III
УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ И СТАЦИОНАРНЫХ ДВИЖЕНИЙ КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ
§ 3.1. Теорема Лагранжа
Рассмотрим механическую систему с голономными и стационарными связями,
положение которой определяется s обобщенными незавиоимыми координатами
qt, . . ., qs. Как известно, в положении равновесия все обобщенные силы
Qu такой системы равны нулю:
Qy = 0, . . Qs = 0. (3.1)
Если обобщенные силы Qк зависят от координат qs и скоростей то для
определения положений, в которых система может находиться в равновесии,
достаточно внести в равенство (3.1) значения (jj = 0 и
решить полученные уравнения относительно qu . . ., qs.
Для консервативных сил Qk = - -щ- , где П - потенциальная энергия
системы, и уравнения (3.1) принимают вид
